Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54162 / 85814
↖ ↑ ↗
← S 48.556614°
W 31.239624°		 ← 202.16 m → S 48.556614°
W 31.236877°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
S 48.558432°
W 31.239624°		 ← 202.15 m →
40 865 m²		 S 48.558432°
W 31.236877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413227081298828 y=0.654712677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413227081298828 × 217)
    floor (0.413227081298828 × 131072)
    floor (54162.5)     		tx = 54162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654712677001953 × 217)
    floor (0.654712677001953 × 131072)
    floor (85814.5)     		ty = 85814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54162 / 85814 ti = "17/54162/85814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54162/85814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54162 ÷ 217
    54162 ÷ 131072     		x = 0.413223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85814 ÷ 217
    85814 ÷ 131072     		y = 0.654708862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413223266601562 × 2 - 1) × π
    -0.173553466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54523430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654708862304688 × 2 - 1) × π
    -0.309417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.972064450495499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54523430} λ = -0.54523430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972064450495499))-π/2
    2×atan(0.378301247199524)-π/2
    2×0.361661768497884-π/2
    0.723323536995768-1.57079632675     		φ = -0.84747279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54523430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.239624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84747279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.556614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54162 KachelY 85814 -0.54523430 -0.84747279 -31.239624 -48.556614
    Oben rechts KachelX + 1 54163 KachelY 85814 -0.54518636 -0.84747279 -31.236877 -48.556614
    Unten links KachelX 54162 KachelY + 1 85815 -0.54523430 -0.84750452 -31.239624 -48.558432
    Unten rechts KachelX + 1 54163 KachelY + 1 85815 -0.54518636 -0.84750452 -31.236877 -48.558432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84747279--0.84750452) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84747279--0.84750452) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54523430--0.54518636) × cos(-0.84747279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661879679630735 × 6371000     		do = 202.155090942048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54523430--0.54518636) × cos(-0.84750452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661855894169339 × 6371000     		du = 202.147826249899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84747279)-sin(-0.84750452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661879679630735-0.661855894169339)×R²
    abs(-0.54518636--0.54523430)×2.37854613959199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37854613959199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37854613959199e-05×40589641000000     		ar = 40865.2872955999m²