Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54162 / 50790
↖ ↑ ↗
← S 69.850978°
E117.520752°		 ← 210.39 m → S 69.850978°
E117.526245°		 →
↑
210.43 m
↓
↑
210.43 m
↓
S 69.852870°
E117.520752°		 ← 210.37 m →
44 272 m²		 S 69.852870°
E117.526245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826454162597656 y=0.775001525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826454162597656 × 216)
    floor (0.826454162597656 × 65536)
    floor (54162.5)     		tx = 54162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775001525878906 × 216)
    floor (0.775001525878906 × 65536)
    floor (50790.5)     		ty = 50790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54162 / 50790 ti = "16/54162/50790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54162/50790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54162 ÷ 216
    54162 ÷ 65536     		x = 0.826446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50790 ÷ 216
    50790 ÷ 65536     		y = 0.774993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826446533203125 × 2 - 1) × π
    0.65289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05112406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.54998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7278376099053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05112406} λ = 2.05112406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7278376099053))-π/2
    2×atan(0.177668182805689)-π/2
    2×0.175833386099137-π/2
    0.351666772198275-1.57079632675     		φ = -1.21912955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05112406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21912955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.850978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54162 KachelY 50790 2.05112406 -1.21912955 117.520752 -69.850978
    Oben rechts KachelX + 1 54163 KachelY 50790 2.05121993 -1.21912955 117.526245 -69.850978
    Unten links KachelX 54162 KachelY + 1 50791 2.05112406 -1.21916258 117.520752 -69.852870
    Unten rechts KachelX + 1 54163 KachelY + 1 50791 2.05121993 -1.21916258 117.526245 -69.852870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21912955--1.21916258) × R
    3.30300000002115e-05 × 6371000     		dl = 210.434130001347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21912955--1.21916258) × R
    3.30300000002115e-05 × 6371000     		dr = 210.434130001347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05112406-2.05121993) × cos(-1.21912955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344463055060232 × 6371000     		do = 210.393821247622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05112406-2.05121993) × cos(-1.21916258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344432046312493 × 6371000     		du = 210.37488148374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21912955)-sin(-1.21916258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344463055060232-0.344432046312493)×R²
    abs(2.05121993-2.05112406)×3.10087477389254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10087477389254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10087477389254e-05×40589641000000     		ar = 44272.0479494157m²