Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54162 / 14708
↖ ↑ ↗
← N 80.002892°
W 31.239624°		 ← 53.02 m → N 80.002892°
W 31.236877°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.002415°
W 31.239624°		 ← 53.02 m →
2 811 m²		 N 80.002415°
W 31.236877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413227081298828 y=0.112216949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413227081298828 × 217)
    floor (0.413227081298828 × 131072)
    floor (54162.5)     		tx = 54162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112216949462891 × 217)
    floor (0.112216949462891 × 131072)
    floor (14708.5)     		ty = 14708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54162 / 14708 ti = "17/54162/14708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54162/14708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54162 ÷ 217
    54162 ÷ 131072     		x = 0.413223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14708 ÷ 217
    14708 ÷ 131072     		y = 0.112213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413223266601562 × 2 - 1) × π
    -0.173553466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54523430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112213134765625 × 2 - 1) × π
    0.77557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43653673388821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54523430} λ = -0.54523430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43653673388821))-π/2
    2×atan(11.4333752752722)-π/2
    2×1.48355509862425-π/2
    2.96711019724849-1.57079632675     		φ = 1.39631387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54523430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.239624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39631387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.002892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54162 KachelY 14708 -0.54523430 1.39631387 -31.239624 80.002892
    Oben rechts KachelX + 1 54163 KachelY 14708 -0.54518636 1.39631387 -31.236877 80.002892
    Unten links KachelX 54162 KachelY + 1 14709 -0.54523430 1.39630555 -31.239624 80.002415
    Unten rechts KachelX + 1 54163 KachelY + 1 14709 -0.54518636 1.39630555 -31.236877 80.002415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39631387-1.39630555) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39631387-1.39630555) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54523430--0.54518636) × cos(1.39631387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173598475769736 × 6371000     		do = 53.0214429248089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54523430--0.54518636) × cos(1.39630555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173606669437136 × 6371000     		du = 53.023945481738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39631387)-sin(1.39630555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173598475769736-0.173606669437136)×R²
    abs(-0.54518636--0.54523430)×8.19366740051342e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.19366740051342e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.19366740051342e-06×40589641000000     		ar = 2810.55910536015m²