Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54162 / 13958
↖ ↑ ↗
← N 80.354235°
W 31.239624°		 ← 51.18 m → N 80.354235°
W 31.236877°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.353774°
W 31.239624°		 ← 51.18 m →
2 618 m²		 N 80.353774°
W 31.236877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413227081298828 y=0.106494903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413227081298828 × 217)
    floor (0.413227081298828 × 131072)
    floor (54162.5)     		tx = 54162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106494903564453 × 217)
    floor (0.106494903564453 × 131072)
    floor (13958.5)     		ty = 13958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54162 / 13958 ti = "17/54162/13958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54162/13958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54162 ÷ 217
    54162 ÷ 131072     		x = 0.413223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13958 ÷ 217
    13958 ÷ 131072     		y = 0.106491088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413223266601562 × 2 - 1) × π
    -0.173553466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54523430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106491088867188 × 2 - 1) × π
    0.787017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47248940860326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54523430} λ = -0.54523430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47248940860326))-π/2
    2×atan(11.8519144157362)-π/2
    2×1.48662114393893-π/2
    2.97324228787787-1.57079632675     		φ = 1.40244596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54523430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.239624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40244596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.354235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54162 KachelY 13958 -0.54523430 1.40244596 -31.239624 80.354235
    Oben rechts KachelX + 1 54163 KachelY 13958 -0.54518636 1.40244596 -31.236877 80.354235
    Unten links KachelX 54162 KachelY + 1 13959 -0.54523430 1.40243793 -31.239624 80.353774
    Unten rechts KachelX + 1 54163 KachelY + 1 13959 -0.54518636 1.40243793 -31.236877 80.353774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40244596-1.40243793) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40244596-1.40243793) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54523430--0.54518636) × cos(1.40244596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16755626624942 × 6371000     		do = 51.1759966108326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54523430--0.54518636) × cos(1.40243793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16756418272001 × 6371000     		du = 51.1784145047207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40244596)-sin(1.40243793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16755626624942-0.16756418272001)×R²
    abs(-0.54518636--0.54523430)×7.91647058989708e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.91647058989708e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.91647058989708e-06×40589641000000     		ar = 2618.18131223253m²