Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54159 / 50017
↖ ↑ ↗
← S 68.336404°
E117.504272°		 ← 225.48 m → S 68.336404°
E117.509765°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 68.338432°
E117.504272°		 ← 225.46 m →
50 836 m²		 S 68.338432°
E117.509765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826408386230469 y=0.763206481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826408386230469 × 216)
    floor (0.826408386230469 × 65536)
    floor (54159.5)     		tx = 54159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763206481933594 × 216)
    floor (0.763206481933594 × 65536)
    floor (50017.5)     		ty = 50017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54159 / 50017 ti = "16/54159/50017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54159/50017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54159 ÷ 216
    54159 ÷ 65536     		x = 0.826400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50017 ÷ 216
    50017 ÷ 65536     		y = 0.763198852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826400756835938 × 2 - 1) × π
    0.652801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05083644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763198852539062 × 2 - 1) × π
    -0.526397705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6537271630927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05083644} λ = 2.05083644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6537271630927))-π/2
    2×atan(0.191335439587794)-π/2
    2×0.189050540171766-π/2
    0.378101080343532-1.57079632675     		φ = -1.19269525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05083644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19269525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.336404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54159 KachelY 50017 2.05083644 -1.19269525 117.504272 -68.336404
    Oben rechts KachelX + 1 54160 KachelY 50017 2.05093231 -1.19269525 117.509765 -68.336404
    Unten links KachelX 54159 KachelY + 1 50018 2.05083644 -1.19273064 117.504272 -68.338432
    Unten rechts KachelX + 1 54160 KachelY + 1 50018 2.05093231 -1.19273064 117.509765 -68.338432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19269525--1.19273064) × R
    3.53899999998575e-05 × 6371000     		dl = 225.469689999092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19269525--1.19273064) × R
    3.53899999998575e-05 × 6371000     		dr = 225.469689999092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05083644-2.05093231) × cos(-1.19269525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36915633889395 × 6371000     		do = 225.476177014395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05083644-2.05093231) × cos(-1.19273064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369123448353671 × 6371000     		du = 225.456087874644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19269525)-sin(-1.19273064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36915633889395-0.369123448353671)×R²
    abs(2.05093231-2.05083644)×3.28905402798285e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28905402798285e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28905402798285e-05×40589641000000     		ar = 50835.7789928737m²