Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54159 / 49926
↖ ↑ ↗
← S 68.151121°
E117.504272°		 ← 227.31 m → S 68.151121°
E117.509765°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
S 68.153165°
E117.504272°		 ← 227.29 m →
51 669 m²		 S 68.153165°
E117.509765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826408386230469 y=0.761817932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826408386230469 × 216)
    floor (0.826408386230469 × 65536)
    floor (54159.5)     		tx = 54159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761817932128906 × 216)
    floor (0.761817932128906 × 65536)
    floor (49926.5)     		ty = 49926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54159 / 49926 ti = "16/54159/49926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54159/49926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54159 ÷ 216
    54159 ÷ 65536     		x = 0.826400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49926 ÷ 216
    49926 ÷ 65536     		y = 0.761810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826400756835938 × 2 - 1) × π
    0.652801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05083644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.52362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64500264736185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05083644} λ = 2.05083644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64500264736185))-π/2
    2×atan(0.193012051820343)-π/2
    2×0.19066743880276-π/2
    0.38133487760552-1.57079632675     		φ = -1.18946145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05083644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18946145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.151121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54159 KachelY 49926 2.05083644 -1.18946145 117.504272 -68.151121
    Oben rechts KachelX + 1 54160 KachelY 49926 2.05093231 -1.18946145 117.509765 -68.151121
    Unten links KachelX 54159 KachelY + 1 49927 2.05083644 -1.18949713 117.504272 -68.153165
    Unten rechts KachelX + 1 54160 KachelY + 1 49927 2.05093231 -1.18949713 117.509765 -68.153165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18946145--1.18949713) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dl = 227.31727999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18946145--1.18949713) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dr = 227.31727999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05083644-2.05093231) × cos(-1.18946145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372159791446287 × 6371000     		do = 227.310649101138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05083644-2.05093231) × cos(-1.18949713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372126674151072 × 6371000     		du = 227.290421462245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18946145)-sin(-1.18949713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372159791446287-0.372126674151072)×R²
    abs(2.05093231-2.05083644)×3.31172952154346e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31172952154346e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31172952154346e-05×40589641000000     		ar = 51669.3394281165m²