Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54157 / 50809
↖ ↑ ↗
← S 69.886899°
E117.493286°		 ← 210.06 m → S 69.886899°
E117.498780°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 69.888788°
E117.493286°		 ← 210.04 m →
44 121 m²		 S 69.888788°
E117.498780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826377868652344 y=0.775291442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826377868652344 × 216)
    floor (0.826377868652344 × 65536)
    floor (54157.5)     		tx = 54157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775291442871094 × 216)
    floor (0.775291442871094 × 65536)
    floor (50809.5)     		ty = 50809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54157 / 50809 ti = "16/54157/50809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54157/50809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54157 ÷ 216
    54157 ÷ 65536     		x = 0.826370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50809 ÷ 216
    50809 ÷ 65536     		y = 0.775283813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826370239257812 × 2 - 1) × π
    0.652740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05064469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775283813476562 × 2 - 1) × π
    -0.550567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72965921209087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05064469} λ = 2.05064469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72965921209087))-π/2
    2×atan(0.17734483664903)-π/2
    2×0.175519916908005-π/2
    0.351039833816009-1.57079632675     		φ = -1.21975649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05064469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21975649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.886899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54157 KachelY 50809 2.05064469 -1.21975649 117.493286 -69.886899
    Oben rechts KachelX + 1 54158 KachelY 50809 2.05074057 -1.21975649 117.498780 -69.886899
    Unten links KachelX 54157 KachelY + 1 50810 2.05064469 -1.21978946 117.493286 -69.888788
    Unten rechts KachelX + 1 54158 KachelY + 1 50810 2.05074057 -1.21978946 117.498780 -69.888788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21975649--1.21978946) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21975649--1.21978946) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05064469-2.05074057) × cos(-1.21975649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343874416209443 × 6371000     		do = 210.056196075536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05064469-2.05074057) × cos(-1.21978946) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343843456676657 × 6371000     		du = 210.037284399114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21975649)-sin(-1.21978946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343874416209443-0.343843456676657)×R²
    abs(2.05074057-2.05064469)×3.09595327853684e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09595327853684e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09595327853684e-05×40589641000000     		ar = 44120.7105783626m²