Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54157 / 50019
↖ ↑ ↗
← S 68.340459°
E117.493286°		 ← 225.46 m → S 68.340459°
E117.498780°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 68.342487°
E117.493286°		 ← 225.44 m →
50 832 m²		 S 68.342487°
E117.498780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826377868652344 y=0.763236999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826377868652344 × 216)
    floor (0.826377868652344 × 65536)
    floor (54157.5)     		tx = 54157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763236999511719 × 216)
    floor (0.763236999511719 × 65536)
    floor (50019.5)     		ty = 50019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54157 / 50019 ti = "16/54157/50019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54157/50019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54157 ÷ 216
    54157 ÷ 65536     		x = 0.826370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50019 ÷ 216
    50019 ÷ 65536     		y = 0.763229370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826370239257812 × 2 - 1) × π
    0.652740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05064469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763229370117188 × 2 - 1) × π
    -0.526458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65391891069118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05064469} λ = 2.05064469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65391891069118))-π/2
    2×atan(0.191298754993952)-π/2
    2×0.189015150904103-π/2
    0.378030301808207-1.57079632675     		φ = -1.19276602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05064469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19276602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.340459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54157 KachelY 50019 2.05064469 -1.19276602 117.493286 -68.340459
    Oben rechts KachelX + 1 54158 KachelY 50019 2.05074057 -1.19276602 117.498780 -68.340459
    Unten links KachelX 54157 KachelY + 1 50020 2.05064469 -1.19280141 117.493286 -68.342487
    Unten rechts KachelX + 1 54158 KachelY + 1 50020 2.05074057 -1.19280141 117.498780 -68.342487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19276602--1.19280141) × R
    3.53899999998575e-05 × 6371000     		dl = 225.469689999092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19276602--1.19280141) × R
    3.53899999998575e-05 × 6371000     		dr = 225.469689999092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05064469-2.05074057) × cos(-1.19276602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369090566645015 × 6371000     		do = 225.459518888998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05064469-2.05074057) × cos(-1.19280141) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369057675180288 × 6371000     		du = 225.439427089091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19276602)-sin(-1.19280141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369090566645015-0.369057675180288)×R²
    abs(2.05074057-2.05064469)×3.2891464726903e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2891464726903e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2891464726903e-05×40589641000000     		ar = 50832.0227905736m²