Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54157 / 15490
↖ ↑ ↗
← N 79.623067°
W 31.253357°		 ← 55.01 m → N 79.623067°
W 31.250610°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.622572°
W 31.253357°		 ← 55.02 m →
3 028 m²		 N 79.622572°
W 31.250610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413188934326172 y=0.118183135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413188934326172 × 217)
    floor (0.413188934326172 × 131072)
    floor (54157.5)     		tx = 54157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118183135986328 × 217)
    floor (0.118183135986328 × 131072)
    floor (15490.5)     		ty = 15490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54157 / 15490 ti = "17/54157/15490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54157/15490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54157 ÷ 217
    54157 ÷ 131072     		x = 0.413185119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15490 ÷ 217
    15490 ÷ 131072     		y = 0.118179321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413185119628906 × 2 - 1) × π
    -0.173629760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54547398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118179321289062 × 2 - 1) × π
    0.763641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39905007838533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54547398} λ = -0.54547398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39905007838533))-π/2
    2×atan(11.0127101989484)-π/2
    2×1.48024050229635-π/2
    2.9604810045927-1.57079632675     		φ = 1.38968468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54547398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.253357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38968468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.623067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54157 KachelY 15490 -0.54547398 1.38968468 -31.253357 79.623067
    Oben rechts KachelX + 1 54158 KachelY 15490 -0.54542604 1.38968468 -31.250610 79.623067
    Unten links KachelX 54157 KachelY + 1 15491 -0.54547398 1.38967604 -31.253357 79.622572
    Unten rechts KachelX + 1 54158 KachelY + 1 15491 -0.54542604 1.38967604 -31.250610 79.622572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38968468-1.38967604) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38968468-1.38967604) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54547398--0.54542604) × cos(1.38968468) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18012314926968 × 6371000     		do = 55.0142461569138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54547398--0.54542604) × cos(1.38967604) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.180131647947698 × 6371000     		du = 55.0168418719366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38968468)-sin(1.38967604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18012314926968-0.180131647947698)×R²
    abs(-0.54542604--0.54547398)×8.49867801824833e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.49867801824833e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.49867801824833e-06×40589641000000     		ar = 3028.35482729116m²