Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54156 / 50760
↖ ↑ ↗
← S 69.794136°
E117.487793°		 ← 210.96 m → S 69.794136°
E117.493286°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 69.796033°
E117.487793°		 ← 210.94 m →
44 499 m²		 S 69.796033°
E117.493286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826362609863281 y=0.774543762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826362609863281 × 216)
    floor (0.826362609863281 × 65536)
    floor (54156.5)     		tx = 54156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774543762207031 × 216)
    floor (0.774543762207031 × 65536)
    floor (50760.5)     		ty = 50760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54156 / 50760 ti = "16/54156/50760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54156/50760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54156 ÷ 216
    54156 ÷ 65536     		x = 0.82635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50760 ÷ 216
    50760 ÷ 65536     		y = 0.7745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82635498046875 × 2 - 1) × π
    0.6527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05054882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05054882} λ = 2.05054882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7249613959281))-π/2
    2×atan(0.178179930110965)-π/2
    2×0.17632943014355-π/2
    0.3526588602871-1.57079632675     		φ = -1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05054882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.487793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54156 KachelY 50760 2.05054882 -1.21813747 117.487793 -69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 54157 KachelY 50760 2.05064469 -1.21813747 117.493286 -69.794136
    Unten links KachelX 54156 KachelY + 1 50761 2.05054882 -1.21817058 117.487793 -69.796033
    Unten rechts KachelX + 1 54157 KachelY + 1 50761 2.05064469 -1.21817058 117.493286 -69.796033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21813747--1.21817058) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21813747--1.21817058) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05054882-2.05064469) × cos(-1.21813747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 210.962583711477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05054882-2.05064469) × cos(-1.21817058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345363177449415 × 6371000     		du = 210.943604994438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21813747)-sin(-1.21817058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345363177449415)×R²
    abs(2.05064469-2.05054882)×3.10725230127651e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10725230127651e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10725230127651e-05×40589641000000     		ar = 44499.2494577162m²