Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54156 / 21315
↖ ↑ ↗
← N 53.110514°
E117.487793°		 ← 366.64 m → N 53.110514°
E117.493286°		 →
↑
366.65 m
↓
↑
366.65 m
↓
N 53.107217°
E117.487793°		 ← 366.67 m →
134 434 m²		 N 53.107217°
E117.493286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826362609863281 y=0.325248718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826362609863281 × 216)
    floor (0.826362609863281 × 65536)
    floor (54156.5)     		tx = 54156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325248718261719 × 216)
    floor (0.325248718261719 × 65536)
    floor (21315.5)     		ty = 21315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54156 / 21315 ti = "16/54156/21315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54156/21315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54156 ÷ 216
    54156 ÷ 65536     		x = 0.82635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21315 ÷ 216
    21315 ÷ 65536     		y = 0.325241088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82635498046875 × 2 - 1) × π
    0.6527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05054882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325241088867188 × 2 - 1) × π
    0.349517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09804262269701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05054882} λ = 2.05054882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09804262269701))-π/2
    2×atan(2.99829148877325)-π/2
    2×1.24887483366202-π/2
    2.49774966732404-1.57079632675     		φ = 0.92695334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05054882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.487793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92695334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.110514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54156 KachelY 21315 2.05054882 0.92695334 117.487793 53.110514
    Oben rechts KachelX + 1 54157 KachelY 21315 2.05064469 0.92695334 117.493286 53.110514
    Unten links KachelX 54156 KachelY + 1 21316 2.05054882 0.92689579 117.487793 53.107217
    Unten rechts KachelX + 1 54157 KachelY + 1 21316 2.05064469 0.92689579 117.493286 53.107217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92695334-0.92689579) × R
    5.75499999999618e-05 × 6371000     		dl = 366.651049999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92695334-0.92689579) × R
    5.75499999999618e-05 × 6371000     		dr = 366.651049999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05054882-2.05064469) × cos(0.92695334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600273467331792 × 6371000     		do = 366.639692501745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05054882-2.05064469) × cos(0.92689579) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600319494529975 × 6371000     		du = 366.667805351483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92695334)-sin(0.92689579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600273467331792-0.600319494529975)×R²
    abs(2.05064469-2.05054882)×4.60271981832516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60271981832516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60271981832516e-05×40589641000000     		ar = 134433.982067326m²