Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54155 / 50807
↖ ↑ ↗
← S 69.883121°
E117.482300°		 ← 210.09 m → S 69.883121°
E117.487793°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 69.885010°
E117.482300°		 ← 210.08 m →
44 129 m²		 S 69.885010°
E117.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826347351074219 y=0.775260925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826347351074219 × 216)
    floor (0.826347351074219 × 65536)
    floor (54155.5)     		tx = 54155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775260925292969 × 216)
    floor (0.775260925292969 × 65536)
    floor (50807.5)     		ty = 50807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54155 / 50807 ti = "16/54155/50807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54155/50807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54155 ÷ 216
    54155 ÷ 65536     		x = 0.826339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50807 ÷ 216
    50807 ÷ 65536     		y = 0.775253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826339721679688 × 2 - 1) × π
    0.652679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05045294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.550506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72946746449239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05045294} λ = 2.05045294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72946746449239))-π/2
    2×atan(0.177378845356)-π/2
    2×0.175552888422693-π/2
    0.351105776845387-1.57079632675     		φ = -1.21969055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05045294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.482300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21969055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.883121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54155 KachelY 50807 2.05045294 -1.21969055 117.482300 -69.883121
    Oben rechts KachelX + 1 54156 KachelY 50807 2.05054882 -1.21969055 117.487793 -69.883121
    Unten links KachelX 54155 KachelY + 1 50808 2.05045294 -1.21972352 117.482300 -69.885010
    Unten rechts KachelX + 1 54156 KachelY + 1 50808 2.05054882 -1.21972352 117.487793 -69.885010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21969055--1.21972352) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21969055--1.21972352) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05045294-2.05054882) × cos(-1.21969055) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343936334153584 × 6371000     		do = 210.094018743353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05045294-2.05054882) × cos(-1.21972352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343905375368429 × 6371000     		du = 210.075107523623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21969055)-sin(-1.21972352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343936334153584-0.343905375368429)×R²
    abs(2.05054882-2.05045294)×3.09587851543558e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09587851543558e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09587851543558e-05×40589641000000     		ar = 44128.6553482646m²