Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54155 / 15493
↖ ↑ ↗
← N 79.621582°
W 31.258850°		 ← 55.01 m → N 79.621582°
W 31.256104°		 →
↑
54.98 m
↓
↑
54.98 m
↓
N 79.621088°
W 31.258850°		 ← 55.01 m →
3 025 m²		 N 79.621088°
W 31.256104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413173675537109 y=0.118206024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413173675537109 × 217)
    floor (0.413173675537109 × 131072)
    floor (54155.5)     		tx = 54155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118206024169922 × 217)
    floor (0.118206024169922 × 131072)
    floor (15493.5)     		ty = 15493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54155 / 15493 ti = "17/54155/15493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54155/15493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54155 ÷ 217
    54155 ÷ 131072     		x = 0.413169860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15493 ÷ 217
    15493 ÷ 131072     		y = 0.118202209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413169860839844 × 2 - 1) × π
    -0.173660278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54556985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118202209472656 × 2 - 1) × π
    0.763595581054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.39890626768647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54556985} λ = -0.54556985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39890626768647))-π/2
    2×atan(11.0111265672727)-π/2
    2×1.48022754956209-π/2
    2.96045509912419-1.57079632675     		φ = 1.38965877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54556985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.258850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38965877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.621582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54155 KachelY 15493 -0.54556985 1.38965877 -31.258850 79.621582
    Oben rechts KachelX + 1 54156 KachelY 15493 -0.54552192 1.38965877 -31.256104 79.621582
    Unten links KachelX 54155 KachelY + 1 15494 -0.54556985 1.38965014 -31.258850 79.621088
    Unten rechts KachelX + 1 54156 KachelY + 1 15494 -0.54552192 1.38965014 -31.256104 79.621088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38965877-1.38965014) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dl = 54.9817299997066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38965877-1.38965014) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dr = 54.9817299997066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54556985--0.54552192) × cos(1.38965877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180148635427 × 6371000     		do = 55.0105530157522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54556985--0.54552192) × cos(1.38965014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180157124228313 × 6371000     		du = 55.0131451733534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38965877)-sin(1.38965014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180148635427-0.180157124228313)×R²
    abs(-0.54552192--0.54556985)×8.48880131307239e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.48880131307239e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.48880131307239e-06×40589641000000     		ar = 3024.64663374198m²