Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54154 / 13983
↖ ↑ ↗
← N 80.342723°
W 31.261597°		 ← 51.24 m → N 80.342723°
W 31.258850°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.342262°
W 31.261597°		 ← 51.24 m →
2 625 m²		 N 80.342262°
W 31.258850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413166046142578 y=0.106685638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413166046142578 × 217)
    floor (0.413166046142578 × 131072)
    floor (54154.5)     		tx = 54154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106685638427734 × 217)
    floor (0.106685638427734 × 131072)
    floor (13983.5)     		ty = 13983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54154 / 13983 ti = "17/54154/13983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54154/13983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54154 ÷ 217
    54154 ÷ 131072     		x = 0.413162231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13983 ÷ 217
    13983 ÷ 131072     		y = 0.106681823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413162231445312 × 2 - 1) × π
    -0.173675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54561779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106681823730469 × 2 - 1) × π
    0.786636352539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.47129098611275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54561779} λ = -0.54561779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47129098611275))-π/2
    2×atan(11.8377193225034)-π/2
    2×1.4865206830067-π/2
    2.97304136601341-1.57079632675     		φ = 1.40224504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54561779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.261597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40224504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.342723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54154 KachelY 13983 -0.54561779 1.40224504 -31.261597 80.342723
    Oben rechts KachelX + 1 54155 KachelY 13983 -0.54556985 1.40224504 -31.258850 80.342723
    Unten links KachelX 54154 KachelY + 1 13984 -0.54561779 1.40223700 -31.261597 80.342262
    Unten rechts KachelX + 1 54155 KachelY + 1 13984 -0.54556985 1.40223700 -31.258850 80.342262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40224504-1.40223700) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40224504-1.40223700) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54561779--0.54556985) × cos(1.40224504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167754342362489 × 6371000     		do = 51.2364941542429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54561779--0.54556985) × cos(1.40223700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167762268420854 × 6371000     		du = 51.2389149764844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40224504)-sin(1.40223700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167754342362489-0.167762268420854)×R²
    abs(-0.54556985--0.54561779)×7.92605836527627e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.92605836527627e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.92605836527627e-06×40589641000000     		ar = 2624.54074297596m²