Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54153 / 13985
↖ ↑ ↗
← N 80.341801°
W 31.264343°		 ← 51.24 m → N 80.341801°
W 31.261597°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.341340°
W 31.264343°		 ← 51.24 m →
2 628 m²		 N 80.341340°
W 31.261597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413158416748047 y=0.106700897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413158416748047 × 217)
    floor (0.413158416748047 × 131072)
    floor (54153.5)     		tx = 54153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106700897216797 × 217)
    floor (0.106700897216797 × 131072)
    floor (13985.5)     		ty = 13985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54153 / 13985 ti = "17/54153/13985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54153/13985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54153 ÷ 217
    54153 ÷ 131072     		x = 0.413154602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13985 ÷ 217
    13985 ÷ 131072     		y = 0.106697082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413154602050781 × 2 - 1) × π
    -0.173690795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54566573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106697082519531 × 2 - 1) × π
    0.786605834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.47119511231351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54566573} λ = -0.54566573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47119511231351))-π/2
    2×atan(11.8365844497807)-π/2
    2×1.48651264100356-π/2
    2.97302528200711-1.57079632675     		φ = 1.40222896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54566573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.264343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40222896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.341801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54153 KachelY 13985 -0.54566573 1.40222896 -31.264343 80.341801
    Oben rechts KachelX + 1 54154 KachelY 13985 -0.54561779 1.40222896 -31.261597 80.341801
    Unten links KachelX 54153 KachelY + 1 13986 -0.54566573 1.40222091 -31.264343 80.341340
    Unten rechts KachelX + 1 54154 KachelY + 1 13986 -0.54561779 1.40222091 -31.261597 80.341340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40222896-1.40222091) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40222896-1.40222091) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54566573--0.54561779) × cos(1.40222896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167770194468375 × 6371000     		do = 51.2413357954138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54566573--0.54561779) × cos(1.40222091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167778130363299 × 6371000     		du = 51.2437596219934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40222896)-sin(1.40222091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167770194468375-0.167778130363299)×R²
    abs(-0.54561779--0.54566573)×7.93589492367741e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.93589492367741e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.93589492367741e-06×40589641000000     		ar = 2628.0534849851m²