Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54153 / 13484
↖ ↑ ↗
← N 80.569947°
W 31.264343°		 ← 50.04 m → N 80.569947°
W 31.261597°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.569497°
W 31.264343°		 ← 50.04 m →
2 503 m²		 N 80.569497°
W 31.261597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413158416748047 y=0.102878570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413158416748047 × 217)
    floor (0.413158416748047 × 131072)
    floor (54153.5)     		tx = 54153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102878570556641 × 217)
    floor (0.102878570556641 × 131072)
    floor (13484.5)     		ty = 13484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54153 / 13484 ti = "17/54153/13484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54153/13484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54153 ÷ 217
    54153 ÷ 131072     		x = 0.413154602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13484 ÷ 217
    13484 ÷ 131072     		y = 0.102874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413154602050781 × 2 - 1) × π
    -0.173690795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54566573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102874755859375 × 2 - 1) × π
    0.79425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49521149902316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54566573} λ = -0.54566573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49521149902316))-π/2
    2×atan(12.1242975245205)-π/2
    2×1.4885035907922-π/2
    2.97700718158441-1.57079632675     		φ = 1.40621085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54566573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.264343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40621085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.569947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54153 KachelY 13484 -0.54566573 1.40621085 -31.264343 80.569947
    Oben rechts KachelX + 1 54154 KachelY 13484 -0.54561779 1.40621085 -31.261597 80.569947
    Unten links KachelX 54153 KachelY + 1 13485 -0.54566573 1.40620300 -31.264343 80.569497
    Unten rechts KachelX + 1 54154 KachelY + 1 13485 -0.54561779 1.40620300 -31.261597 80.569497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40621085-1.40620300) × R
    7.8499999998094e-06 × 6371000     		dl = 50.0123499987857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40621085-1.40620300) × R
    7.8499999998094e-06 × 6371000     		dr = 50.0123499987857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54566573--0.54561779) × cos(1.40621085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163843423592263 × 6371000     		do = 50.0419988947677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54566573--0.54561779) × cos(1.40620300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163851167505117 × 6371000     		du = 50.0443640850816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40621085)-sin(1.40620300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163843423592263-0.163851167505117)×R²
    abs(-0.54561779--0.54566573)×7.74391285396359e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.74391285396359e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.74391285396359e-06×40589641000000     		ar = 2502.77710776467m²