Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54152 / 50033
↖ ↑ ↗
← S 68.368826°
E117.465820°		 ← 225.18 m → S 68.368826°
E117.471314°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 68.370851°
E117.465820°		 ← 225.16 m →
50 697 m²		 S 68.370851°
E117.471314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826301574707031 y=0.763450622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826301574707031 × 216)
    floor (0.826301574707031 × 65536)
    floor (54152.5)     		tx = 54152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763450622558594 × 216)
    floor (0.763450622558594 × 65536)
    floor (50033.5)     		ty = 50033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54152 / 50033 ti = "16/54152/50033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54152/50033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54152 ÷ 216
    54152 ÷ 65536     		x = 0.8262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50033 ÷ 216
    50033 ÷ 65536     		y = 0.763442993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8262939453125 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05016532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763442993164062 × 2 - 1) × π
    -0.526885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65526114388054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05016532} λ = 2.05016532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65526114388054))-π/2
    2×atan(0.191042159699799)-π/2
    2×0.188767602548895-π/2
    0.377535205097789-1.57079632675     		φ = -1.19326112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05016532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.465820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19326112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.368826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54152 KachelY 50033 2.05016532 -1.19326112 117.465820 -68.368826
    Oben rechts KachelX + 1 54153 KachelY 50033 2.05026120 -1.19326112 117.471314 -68.368826
    Unten links KachelX 54152 KachelY + 1 50034 2.05016532 -1.19329646 117.465820 -68.370851
    Unten rechts KachelX + 1 54153 KachelY + 1 50034 2.05026120 -1.19329646 117.471314 -68.370851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19326112--1.19329646) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19326112--1.19329646) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05016532-2.05026120) × cos(-1.19326112) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368630378738574 × 6371000     		do = 225.178412425271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05016532-2.05026120) × cos(-1.19329646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368597527290568 × 6371000     		du = 225.158345069636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19326112)-sin(-1.19329646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368630378738574-0.368597527290568)×R²
    abs(2.05026120-2.05016532)×3.28514480059106e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28514480059106e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28514480059106e-05×40589641000000     		ar = 50696.917172308m²