Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54152 / 21304
↖ ↑ ↗
← N 53.146770°
E117.465820°		 ← 366.37 m → N 53.146770°
E117.471314°		 →
↑
366.40 m
↓
↑
366.40 m
↓
N 53.143475°
E117.465820°		 ← 366.40 m →
134 241 m²		 N 53.143475°
E117.471314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826301574707031 y=0.325080871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826301574707031 × 216)
    floor (0.826301574707031 × 65536)
    floor (54152.5)     		tx = 54152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325080871582031 × 216)
    floor (0.325080871582031 × 65536)
    floor (21304.5)     		ty = 21304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54152 / 21304 ti = "16/54152/21304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54152/21304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54152 ÷ 216
    54152 ÷ 65536     		x = 0.8262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21304 ÷ 216
    21304 ÷ 65536     		y = 0.3250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8262939453125 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05016532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3250732421875 × 2 - 1) × π
    0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05016532} λ = 2.05016532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09909723448865))-π/2
    2×atan(3.00145519027732)-π/2
    2×1.24919122792532-π/2
    2.49838245585064-1.57079632675     		φ = 0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05016532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.465820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54152 KachelY 21304 2.05016532 0.92758613 117.465820 53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 54153 KachelY 21304 2.05026120 0.92758613 117.471314 53.146770
    Unten links KachelX 54152 KachelY + 1 21305 2.05016532 0.92752862 117.465820 53.143475
    Unten rechts KachelX + 1 54153 KachelY + 1 21305 2.05026120 0.92752862 117.471314 53.143475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92758613-0.92752862) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dl = 366.396209999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92758613-0.92752862) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dr = 366.396209999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05016532-2.05026120) × cos(0.92758613) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 366.368709273083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05016532-2.05026120) × cos(0.92752862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.599813262060037 × 6371000     		du = 366.396818852761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92758613)-sin(0.92752862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599813262060037)×R²
    abs(2.05026120-2.05016532)×4.60170444018804e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.60170444018804e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.60170444018804e-05×40589641000000     		ar = 134241.25619888m²