Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54151 / 50028
↖ ↑ ↗
← S 68.358699°
E117.460327°		 ← 225.26 m → S 68.358699°
E117.465820°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 68.360725°
E117.460327°		 ← 225.24 m →
50 743 m²		 S 68.360725°
E117.465820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826286315917969 y=0.763374328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826286315917969 × 216)
    floor (0.826286315917969 × 65536)
    floor (54151.5)     		tx = 54151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763374328613281 × 216)
    floor (0.763374328613281 × 65536)
    floor (50028.5)     		ty = 50028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54151 / 50028 ti = "16/54151/50028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54151/50028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54151 ÷ 216
    54151 ÷ 65536     		x = 0.826278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50028 ÷ 216
    50028 ÷ 65536     		y = 0.76336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826278686523438 × 2 - 1) × π
    0.652557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05006945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.5267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65478177488434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05006945} λ = 2.05006945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65478177488434))-π/2
    2×atan(0.191133761341866)-π/2
    2×0.188855977224224-π/2
    0.377711954448447-1.57079632675     		φ = -1.19308437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05006945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.460327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19308437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.358699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54151 KachelY 50028 2.05006945 -1.19308437 117.460327 -68.358699
    Oben rechts KachelX + 1 54152 KachelY 50028 2.05016532 -1.19308437 117.465820 -68.358699
    Unten links KachelX 54151 KachelY + 1 50029 2.05006945 -1.19311973 117.460327 -68.360725
    Unten rechts KachelX + 1 54152 KachelY + 1 50029 2.05016532 -1.19311973 117.465820 -68.360725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19308437--1.19311973) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19308437--1.19311973) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05006945-2.05016532) × cos(-1.19308437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368794675547505 × 6371000     		do = 225.255277465529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05006945-2.05016532) × cos(-1.19311973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368761807812024 × 6371000     		du = 225.23520225467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19308437)-sin(-1.19311973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368794675547505-0.368761807812024)×R²
    abs(2.05016532-2.05006945)×3.28677354814455e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28677354814455e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28677354814455e-05×40589641000000     		ar = 50742.92328768m²