Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54151 / 23977
↖ ↑ ↗
← N 43.417019°
E117.460327°		 ← 443.66 m → N 43.417019°
E117.465820°		 →
↑
443.68 m
↓
↑
443.68 m
↓
N 43.413029°
E117.460327°		 ← 443.69 m →
196 847 m²		 N 43.413029°
E117.465820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826286315917969 y=0.365867614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826286315917969 × 216)
    floor (0.826286315917969 × 65536)
    floor (54151.5)     		tx = 54151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365867614746094 × 216)
    floor (0.365867614746094 × 65536)
    floor (23977.5)     		ty = 23977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54151 / 23977 ti = "16/54151/23977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54151/23977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54151 ÷ 216
    54151 ÷ 65536     		x = 0.826278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23977 ÷ 216
    23977 ÷ 65536     		y = 0.365859985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826278686523438 × 2 - 1) × π
    0.652557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05006945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365859985351562 × 2 - 1) × π
    0.268280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.842826569119827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05006945} λ = 2.05006945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842826569119827))-π/2
    2×atan(2.32292361017124)-π/2
    2×1.16428312889386-π/2
    2.32856625778772-1.57079632675     		φ = 0.75776993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05006945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.460327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75776993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.417019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54151 KachelY 23977 2.05006945 0.75776993 117.460327 43.417019
    Oben rechts KachelX + 1 54152 KachelY 23977 2.05016532 0.75776993 117.465820 43.417019
    Unten links KachelX 54151 KachelY + 1 23978 2.05006945 0.75770029 117.460327 43.413029
    Unten rechts KachelX + 1 54152 KachelY + 1 23978 2.05016532 0.75770029 117.465820 43.413029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75776993-0.75770029) × R
    6.96399999999819e-05 × 6371000     		dl = 443.676439999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75776993-0.75770029) × R
    6.96399999999819e-05 × 6371000     		dr = 443.676439999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05006945-2.05016532) × cos(0.75776993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726370550133676 × 6371000     		do = 443.658248509811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05006945-2.05016532) × cos(0.75770029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726418412173983 × 6371000     		du = 443.687482058678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75776993)-sin(0.75770029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726370550133676-0.726418412173983)×R²
    abs(2.05016532-2.05006945)×4.7862040306712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7862040306712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7862040306712e-05×40589641000000     		ar = 196847.197473741m²