Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54150 / 50026
↖ ↑ ↗
← S 68.354647°
E117.454834°		 ← 225.30 m → S 68.354647°
E117.460327°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 68.356673°
E117.454834°		 ← 225.28 m →
50 752 m²		 S 68.356673°
E117.460327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826271057128906 y=0.763343811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826271057128906 × 216)
    floor (0.826271057128906 × 65536)
    floor (54150.5)     		tx = 54150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763343811035156 × 216)
    floor (0.763343811035156 × 65536)
    floor (50026.5)     		ty = 50026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54150 / 50026 ti = "16/54150/50026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54150/50026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54150 ÷ 216
    54150 ÷ 65536     		x = 0.826263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50026 ÷ 216
    50026 ÷ 65536     		y = 0.763336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826263427734375 × 2 - 1) × π
    0.65252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04997358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.52667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65459002728586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04997358} λ = 2.04997358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65459002728586))-π/2
    2×atan(0.191170414295538)-π/2
    2×0.188891338121788-π/2
    0.377782676243576-1.57079632675     		φ = -1.19301365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04997358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19301365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.354647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54150 KachelY 50026 2.04997358 -1.19301365 117.454834 -68.354647
    Oben rechts KachelX + 1 54151 KachelY 50026 2.05006945 -1.19301365 117.460327 -68.354647
    Unten links KachelX 54150 KachelY + 1 50027 2.04997358 -1.19304901 117.454834 -68.356673
    Unten rechts KachelX + 1 54151 KachelY + 1 50027 2.05006945 -1.19304901 117.460327 -68.356673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19301365--1.19304901) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19301365--1.19304901) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04997358-2.05006945) × cos(-1.19301365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368860409635082 × 6371000     		do = 225.295427042293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04997358-2.05006945) × cos(-1.19304901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368827542821871 × 6371000     		du = 225.275352394745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19301365)-sin(-1.19304901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368860409635082-0.368827542821871)×R²
    abs(2.05006945-2.04997358)×3.28668132105192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28668132105192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28668132105192e-05×40589641000000     		ar = 50751.9681901677m²