Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54149 / 11907
↖ ↑ ↗
← N 81.253779°
W 31.275330°		 ← 46.44 m → N 81.253779°
W 31.272583°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
N 81.253362°
W 31.275330°		 ← 46.44 m →
2 157 m²		 N 81.253362°
W 31.272583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413127899169922 y=0.0908470153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413127899169922 × 217)
    floor (0.413127899169922 × 131072)
    floor (54149.5)     		tx = 54149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0908470153808594 × 217)
    floor (0.0908470153808594 × 131072)
    floor (11907.5)     		ty = 11907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54149 / 11907 ti = "17/54149/11907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54149/11907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54149 ÷ 217
    54149 ÷ 131072     		x = 0.413124084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11907 ÷ 217
    11907 ÷ 131072     		y = 0.0908432006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413124084472656 × 2 - 1) × π
    -0.173751831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54585748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908432006835938 × 2 - 1) × π
    0.818313598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.57080798972399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54585748} λ = -0.54585748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57080798972399))-π/2
    2×atan(13.076385758962)-π/2
    2×1.4944711540881-π/2
    2.9889423081762-1.57079632675     		φ = 1.41814598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54585748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.275330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41814598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.253779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54149 KachelY 11907 -0.54585748 1.41814598 -31.275330 81.253779
    Oben rechts KachelX + 1 54150 KachelY 11907 -0.54580954 1.41814598 -31.272583 81.253779
    Unten links KachelX 54149 KachelY + 1 11908 -0.54585748 1.41813869 -31.275330 81.253362
    Unten rechts KachelX + 1 54150 KachelY + 1 11908 -0.54580954 1.41813869 -31.272583 81.253362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41814598-1.41813869) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dl = 46.4445900006636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41814598-1.41813869) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dr = 46.4445900006636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54585748--0.54580954) × cos(1.41814598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152058190811235 × 6371000     		do = 46.4424854515522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54585748--0.54580954) × cos(1.41813869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152065396035741 × 6371000     		du = 46.4446861125789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41814598)-sin(1.41813869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152058190811235-0.152065396035741)×R²
    abs(-0.54580954--0.54585748)×7.20522450650685e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.20522450650685e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.20522450650685e-06×40589641000000     		ar = 2157.05329982411m²