Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54147 / 50046
↖ ↑ ↗
← S 68.395135°
E117.438354°		 ← 224.92 m → S 68.395135°
E117.443848°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 68.397158°
E117.438354°		 ← 224.90 m →
50 581 m²		 S 68.397158°
E117.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826225280761719 y=0.763648986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826225280761719 × 216)
    floor (0.826225280761719 × 65536)
    floor (54147.5)     		tx = 54147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763648986816406 × 216)
    floor (0.763648986816406 × 65536)
    floor (50046.5)     		ty = 50046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54147 / 50046 ti = "16/54147/50046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54147/50046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54147 ÷ 216
    54147 ÷ 65536     		x = 0.826217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50046 ÷ 216
    50046 ÷ 65536     		y = 0.763641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826217651367188 × 2 - 1) × π
    0.652435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04968595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.52728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65650750327066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04968595} λ = 2.04968595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65650750327066))-π/2
    2×atan(0.190804200832087)-π/2
    2×0.188538012616445-π/2
    0.377076025232891-1.57079632675     		φ = -1.19372030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04968595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.438354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19372030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.395135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54147 KachelY 50046 2.04968595 -1.19372030 117.438354 -68.395135
    Oben rechts KachelX + 1 54148 KachelY 50046 2.04978183 -1.19372030 117.443848 -68.395135
    Unten links KachelX 54147 KachelY + 1 50047 2.04968595 -1.19375560 117.438354 -68.397158
    Unten rechts KachelX + 1 54148 KachelY + 1 50047 2.04978183 -1.19375560 117.443848 -68.397158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19372030--1.19375560) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dl = 224.896299999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19372030--1.19375560) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dr = 224.896299999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04968595-2.04978183) × cos(-1.19372030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368203497158014 × 6371000     		do = 224.917651180001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04968595-2.04978183) × cos(-1.19375560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368170676922147 × 6371000     		du = 224.897602890348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19372030)-sin(-1.19375560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368203497158014-0.368170676922147)×R²
    abs(2.04978183-2.04968595)×3.28202358670926e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28202358670926e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28202358670926e-05×40589641000000     		ar = 50580.8931673738m²