Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54146 / 11902
↖ ↑ ↗
← N 81.255867°
W 31.283570°		 ← 46.43 m → N 81.255867°
W 31.280823°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
N 81.255450°
W 31.283570°		 ← 46.43 m →
2 154 m²		 N 81.255450°
W 31.280823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413105010986328 y=0.0908088684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413105010986328 × 217)
    floor (0.413105010986328 × 131072)
    floor (54146.5)     		tx = 54146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0908088684082031 × 217)
    floor (0.0908088684082031 × 131072)
    floor (11902.5)     		ty = 11902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54146 / 11902 ti = "17/54146/11902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54146/11902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54146 ÷ 217
    54146 ÷ 131072     		x = 0.413101196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11902 ÷ 217
    11902 ÷ 131072     		y = 0.0908050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.173797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54600129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908050537109375 × 2 - 1) × π
    0.818389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57104767422209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54600129} λ = -0.54600129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57104767422209))-π/2
    2×atan(13.07952034156)-π/2
    2×1.49448937492519-π/2
    2.98897874985037-1.57079632675     		φ = 1.41818242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54600129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.283570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41818242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54146 KachelY 11902 -0.54600129 1.41818242 -31.283570 81.255867
    Oben rechts KachelX + 1 54147 KachelY 11902 -0.54595335 1.41818242 -31.280823 81.255867
    Unten links KachelX 54146 KachelY + 1 11903 -0.54600129 1.41817514 -31.283570 81.255450
    Unten rechts KachelX + 1 54147 KachelY + 1 11903 -0.54595335 1.41817514 -31.280823 81.255450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41818242-1.41817514) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41818242-1.41817514) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54600129--0.54595335) × cos(1.41818242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152022174451266 × 6371000     		do = 46.4314851281567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54600129--0.54595335) × cos(1.41817514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152029369832403 × 6371000     		du = 46.4336827827649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41818242)-sin(1.41817514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152022174451266-0.152029369832403)×R²
    abs(-0.54595335--0.54600129)×7.1953811366654e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1953811366654e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1953811366654e-06×40589641000000     		ar = 2153.58410435706m²