Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54144 / 50815
↖ ↑ ↗
← S 69.898230°
E117.421875°		 ← 209.94 m → S 69.898230°
E117.427368°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
S 69.900118°
E117.421875°		 ← 209.92 m →
44 070 m²		 S 69.900118°
E117.427368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826179504394531 y=0.775382995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826179504394531 × 216)
    floor (0.826179504394531 × 65536)
    floor (54144.5)     		tx = 54144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775382995605469 × 216)
    floor (0.775382995605469 × 65536)
    floor (50815.5)     		ty = 50815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54144 / 50815 ti = "16/54144/50815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54144/50815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54144 ÷ 216
    54144 ÷ 65536     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50815 ÷ 216
    50815 ÷ 65536     		y = 0.775375366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775375366210938 × 2 - 1) × π
    -0.550750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73023445488631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73023445488631))-π/2
    2×atan(0.177242849645895)-π/2
    2×0.175421037976947-π/2
    0.350842075953895-1.57079632675     		φ = -1.21995425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21995425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.898230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54144 KachelY 50815 2.04939833 -1.21995425 117.421875 -69.898230
    Oben rechts KachelX + 1 54145 KachelY 50815 2.04949421 -1.21995425 117.427368 -69.898230
    Unten links KachelX 54144 KachelY + 1 50816 2.04939833 -1.21998720 117.421875 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 54145 KachelY + 1 50816 2.04949421 -1.21998720 117.427368 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21995425--1.21998720) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21995425--1.21998720) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.04949421) × cos(-1.21995425) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.343688709751948 × 6371000     		do = 209.942757012102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.04949421) × cos(-1.21998720) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 209.923855439465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21995425)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343688709751948-0.343657766759656)×R²
    abs(2.04949421-2.04939833)×3.0942992291505e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.0942992291505e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.0942992291505e-05×40589641000000     		ar = 44070.1338502494m²