Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54142 / 50049
↖ ↑ ↗
← S 68.401202°
E117.410888°		 ← 224.86 m → S 68.401202°
E117.416382°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 68.403224°
E117.410888°		 ← 224.84 m →
50 553 m²		 S 68.403224°
E117.416382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826148986816406 y=0.763694763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826148986816406 × 216)
    floor (0.826148986816406 × 65536)
    floor (54142.5)     		tx = 54142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763694763183594 × 216)
    floor (0.763694763183594 × 65536)
    floor (50049.5)     		ty = 50049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54142 / 50049 ti = "16/54142/50049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54142/50049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54142 ÷ 216
    54142 ÷ 65536     		x = 0.826141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50049 ÷ 216
    50049 ÷ 65536     		y = 0.763687133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826141357421875 × 2 - 1) × π
    0.65228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04920658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763687133789062 × 2 - 1) × π
    -0.527374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65679512466838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04920658} λ = 2.04920658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65679512466838))-π/2
    2×atan(0.190749329352637)-π/2
    2×0.188485068093889-π/2
    0.376970136187779-1.57079632675     		φ = -1.19382619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04920658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.410888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19382619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.401202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54142 KachelY 50049 2.04920658 -1.19382619 117.410888 -68.401202
    Oben rechts KachelX + 1 54143 KachelY 50049 2.04930246 -1.19382619 117.416382 -68.401202
    Unten links KachelX 54142 KachelY + 1 50050 2.04920658 -1.19386148 117.410888 -68.403224
    Unten rechts KachelX + 1 54143 KachelY + 1 50050 2.04930246 -1.19386148 117.416382 -68.403224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19382619--1.19386148) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19382619--1.19386148) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04920658-2.04930246) × cos(-1.19382619) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368105044371974 × 6371000     		do = 224.857511149939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04920658-2.04930246) × cos(-1.19386148) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368072232058011 × 6371000     		du = 224.837467699392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19382619)-sin(-1.19386148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368105044371974-0.368072232058011)×R²
    abs(2.04930246-2.04920658)×3.28123139639036e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28123139639036e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28123139639036e-05×40589641000000     		ar = 50553.043407716m²