Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54142 / 15235
↖ ↑ ↗
← N 79.748466°
W 31.294555°		 ← 54.35 m → N 79.748466°
W 31.291809°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.747977°
W 31.294555°		 ← 54.35 m →
2 953 m²		 N 79.747977°
W 31.291809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413074493408203 y=0.116237640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413074493408203 × 217)
    floor (0.413074493408203 × 131072)
    floor (54142.5)     		tx = 54142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116237640380859 × 217)
    floor (0.116237640380859 × 131072)
    floor (15235.5)     		ty = 15235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54142 / 15235 ti = "17/54142/15235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54142/15235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54142 ÷ 217
    54142 ÷ 131072     		x = 0.413070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15235 ÷ 217
    15235 ÷ 131072     		y = 0.116233825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413070678710938 × 2 - 1) × π
    -0.173858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54619303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116233825683594 × 2 - 1) × π
    0.767532348632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.41127398778844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54619303} λ = -0.54619303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41127398778844))-π/2
    2×atan(11.1481547148987)-π/2
    2×1.48133481378533-π/2
    2.96266962757066-1.57079632675     		φ = 1.39187330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54619303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.294555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39187330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.748466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54142 KachelY 15235 -0.54619303 1.39187330 -31.294555 79.748466
    Oben rechts KachelX + 1 54143 KachelY 15235 -0.54614510 1.39187330 -31.291809 79.748466
    Unten links KachelX 54142 KachelY + 1 15236 -0.54619303 1.39186477 -31.294555 79.747977
    Unten rechts KachelX + 1 54143 KachelY + 1 15236 -0.54614510 1.39186477 -31.291809 79.747977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39187330-1.39186477) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39187330-1.39186477) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54619303--0.54614510) × cos(1.39187330) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.177969896509889 × 6371000     		do = 54.3452488770569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54619303--0.54614510) × cos(1.39186477) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.177978290329916 × 6371000     		du = 54.34781203098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39187330)-sin(1.39186477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177969896509889-0.177978290329916)×R²
    abs(-0.54614510--0.54619303)×8.39382002737477e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.39382002737477e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.39382002737477e-06×40589641000000     		ar = 2953.44208922626m²