Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54141 / 85822
↖ ↑ ↗
← S 48.571155°
W 31.297302°		 ← 202.10 m → S 48.571155°
W 31.294555°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
S 48.572973°
W 31.297302°		 ← 202.09 m →
40 841 m²		 S 48.572973°
W 31.294555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413066864013672 y=0.654773712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413066864013672 × 217)
    floor (0.413066864013672 × 131072)
    floor (54141.5)     		tx = 54141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654773712158203 × 217)
    floor (0.654773712158203 × 131072)
    floor (85822.5)     		ty = 85822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54141 / 85822 ti = "17/54141/85822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54141/85822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54141 ÷ 217
    54141 ÷ 131072     		x = 0.413063049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85822 ÷ 217
    85822 ÷ 131072     		y = 0.654769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413063049316406 × 2 - 1) × π
    -0.173873901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54624097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.309539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.972447945692459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54624097} λ = -0.54624097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972447945692459))-π/2
    2×atan(0.378156198302774)-π/2
    2×0.361534872900497-π/2
    0.723069745800993-1.57079632675     		φ = -0.84772658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54624097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.297302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84772658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.571155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54141 KachelY 85822 -0.54624097 -0.84772658 -31.297302 -48.571155
    Oben rechts KachelX + 1 54142 KachelY 85822 -0.54619303 -0.84772658 -31.294555 -48.571155
    Unten links KachelX 54141 KachelY + 1 85823 -0.54624097 -0.84775830 -31.297302 -48.572973
    Unten rechts KachelX + 1 54142 KachelY + 1 85823 -0.54619303 -0.84775830 -31.294555 -48.572973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84772658--0.84775830) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dl = 202.088119999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84772658--0.84775830) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dr = 202.088119999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54624097--0.54619303) × cos(-0.84772658) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.661689414771961 × 6371000     		do = 202.096979157229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54624097--0.54619303) × cos(-0.84775830) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.661665631479461 × 6371000     		du = 202.089715127517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84772658)-sin(-0.84775830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661689414771961-0.661665631479461)×R²
    abs(-0.54619303--0.54624097)×2.37832924996351e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37832924996351e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37832924996351e-05×40589641000000     		ar = 40840.6645918435m²