Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54141 / 50074
↖ ↑ ↗
← S 68.451698°
E117.405395°		 ← 224.33 m → S 68.451698°
E117.410888°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 68.453715°
E117.405395°		 ← 224.31 m →
50 321 m²		 S 68.453715°
E117.410888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826133728027344 y=0.764076232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826133728027344 × 216)
    floor (0.826133728027344 × 65536)
    floor (54141.5)     		tx = 54141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764076232910156 × 216)
    floor (0.764076232910156 × 65536)
    floor (50074.5)     		ty = 50074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54141 / 50074 ti = "16/54141/50074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54141/50074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54141 ÷ 216
    54141 ÷ 65536     		x = 0.826126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50074 ÷ 216
    50074 ÷ 65536     		y = 0.764068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826126098632812 × 2 - 1) × π
    0.652252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04911071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.52813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65919196964938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04911071} λ = 2.04911071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65919196964938))-π/2
    2×atan(0.19029268025711)-π/2
    2×0.188044413979593-π/2
    0.376088827959187-1.57079632675     		φ = -1.19470750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04911071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.405395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19470750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.451698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54141 KachelY 50074 2.04911071 -1.19470750 117.405395 -68.451698
    Oben rechts KachelX + 1 54142 KachelY 50074 2.04920658 -1.19470750 117.410888 -68.451698
    Unten links KachelX 54141 KachelY + 1 50075 2.04911071 -1.19474271 117.405395 -68.453715
    Unten rechts KachelX + 1 54142 KachelY + 1 50075 2.04920658 -1.19474271 117.410888 -68.453715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19470750--1.19474271) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dl = 224.322910000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19470750--1.19474271) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dr = 224.322910000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04911071-2.04920658) × cos(-1.19470750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36728547340141 × 6371000     		do = 224.333475252237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04911071-2.04920658) × cos(-1.19474271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367252724061804 × 6371000     		du = 224.31347235613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19470750)-sin(-1.19474271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36728547340141-0.367252724061804)×R²
    abs(2.04920658-2.04911071)×3.27493396059531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27493396059531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27493396059531e-05×40589641000000     		ar = 50320.894430478m²