Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54141 / 50047
↖ ↑ ↗
← S 68.397158°
E117.405395°		 ← 224.87 m → S 68.397158°
E117.410888°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 68.399180°
E117.405395°		 ← 224.85 m →
50 571 m²		 S 68.399180°
E117.410888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826133728027344 y=0.763664245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826133728027344 × 216)
    floor (0.826133728027344 × 65536)
    floor (54141.5)     		tx = 54141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763664245605469 × 216)
    floor (0.763664245605469 × 65536)
    floor (50047.5)     		ty = 50047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54141 / 50047 ti = "16/54141/50047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54141/50047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54141 ÷ 216
    54141 ÷ 65536     		x = 0.826126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50047 ÷ 216
    50047 ÷ 65536     		y = 0.763656616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826126098632812 × 2 - 1) × π
    0.652252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04911071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763656616210938 × 2 - 1) × π
    -0.527313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6566033770699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04911071} λ = 2.04911071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6566033770699))-π/2
    2×atan(0.19078590858533)-π/2
    2×0.188520362869081-π/2
    0.377040725738162-1.57079632675     		φ = -1.19375560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04911071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.405395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19375560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.397158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54141 KachelY 50047 2.04911071 -1.19375560 117.405395 -68.397158
    Oben rechts KachelX + 1 54142 KachelY 50047 2.04920658 -1.19375560 117.410888 -68.397158
    Unten links KachelX 54141 KachelY + 1 50048 2.04911071 -1.19379090 117.405395 -68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 54142 KachelY + 1 50048 2.04920658 -1.19379090 117.410888 -68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19375560--1.19379090) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dl = 224.896299999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19375560--1.19379090) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dr = 224.896299999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04911071-2.04920658) × cos(-1.19375560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368170676922147 × 6371000     		do = 224.874146736664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04911071-2.04920658) × cos(-1.19379090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 224.854100257774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19375560)-sin(-1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368170676922147-0.368137856227506)×R²
    abs(2.04920658-2.04911071)×3.28206946408893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28206946408893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28206946408893e-05×40589641000000     		ar = 50571.1093824761m²