Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54141 / 15234
↖ ↑ ↗
← N 79.748954°
W 31.297302°		 ← 54.35 m → N 79.748954°
W 31.294555°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.748466°
W 31.297302°		 ← 54.36 m →
2 954 m²		 N 79.748466°
W 31.294555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413066864013672 y=0.116230010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413066864013672 × 217)
    floor (0.413066864013672 × 131072)
    floor (54141.5)     		tx = 54141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116230010986328 × 217)
    floor (0.116230010986328 × 131072)
    floor (15234.5)     		ty = 15234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54141 / 15234 ti = "17/54141/15234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54141/15234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54141 ÷ 217
    54141 ÷ 131072     		x = 0.413063049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15234 ÷ 217
    15234 ÷ 131072     		y = 0.116226196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413063049316406 × 2 - 1) × π
    -0.173873901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.54624097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116226196289062 × 2 - 1) × π
    0.767547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41132192468806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54624097} λ = -0.54624097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41132192468806))-π/2
    2×atan(11.1486891356814)-π/2
    2×1.48133907934724-π/2
    2.96267815869448-1.57079632675     		φ = 1.39188183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54624097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.297302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39188183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.748954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54141 KachelY 15234 -0.54624097 1.39188183 -31.297302 79.748954
    Oben rechts KachelX + 1 54142 KachelY 15234 -0.54619303 1.39188183 -31.294555 79.748954
    Unten links KachelX 54141 KachelY + 1 15235 -0.54624097 1.39187330 -31.297302 79.748466
    Unten rechts KachelX + 1 54142 KachelY + 1 15235 -0.54619303 1.39187330 -31.294555 79.748466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39188183-1.39187330) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39188183-1.39187330) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54624097--0.54619303) × cos(1.39188183) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177961502676912 × 6371000     		do = 54.3540236466982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54624097--0.54619303) × cos(1.39187330) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177969896509889 × 6371000     		du = 54.3565873393464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39188183)-sin(1.39187330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177961502676912-0.177969896509889)×R²
    abs(-0.54619303--0.54624097)×8.39383297643326e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.39383297643326e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.39383297643326e-06×40589641000000     		ar = 2953.91896558701m²