Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54140 / 50075
↖ ↑ ↗
← S 68.453715°
E117.399902°		 ← 224.31 m → S 68.453715°
E117.405395°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 68.455732°
E117.399902°		 ← 224.29 m →
50 316 m²		 S 68.455732°
E117.405395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826118469238281 y=0.764091491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826118469238281 × 216)
    floor (0.826118469238281 × 65536)
    floor (54140.5)     		tx = 54140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764091491699219 × 216)
    floor (0.764091491699219 × 65536)
    floor (50075.5)     		ty = 50075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54140 / 50075 ti = "16/54140/50075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54140/50075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54140 ÷ 216
    54140 ÷ 65536     		x = 0.82611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50075 ÷ 216
    50075 ÷ 65536     		y = 0.764083862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82611083984375 × 2 - 1) × π
    0.6522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04901484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764083862304688 × 2 - 1) × π
    -0.528167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65928784344862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04901484} λ = 2.04901484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65928784344862))-π/2
    2×atan(0.190274437049423)-π/2
    2×0.188026808237665-π/2
    0.37605361647533-1.57079632675     		φ = -1.19474271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04901484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19474271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.453715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54140 KachelY 50075 2.04901484 -1.19474271 117.399902 -68.453715
    Oben rechts KachelX + 1 54141 KachelY 50075 2.04911071 -1.19474271 117.405395 -68.453715
    Unten links KachelX 54140 KachelY + 1 50076 2.04901484 -1.19477792 117.399902 -68.455732
    Unten rechts KachelX + 1 54141 KachelY + 1 50076 2.04911071 -1.19477792 117.405395 -68.455732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19474271--1.19477792) × R
    3.52099999998412e-05 × 6371000     		dl = 224.322909998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19474271--1.19477792) × R
    3.52099999998412e-05 × 6371000     		dr = 224.322909998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04901484-2.04911071) × cos(-1.19474271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367252724061804 × 6371000     		do = 224.31347235613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04901484-2.04911071) × cos(-1.19477792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367219974266899 × 6371000     		du = 224.293469181932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19474271)-sin(-1.19477792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367252724061804-0.367219974266899)×R²
    abs(2.04911071-2.04901484)×3.27497949050848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27497949050848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27497949050848e-05×40589641000000     		ar = 50316.4072909557m²