Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54140 / 21306
↖ ↑ ↗
← N 53.140181°
E117.399902°		 ← 366.39 m → N 53.140181°
E117.405395°		 →
↑
366.46 m
↓
↑
366.46 m
↓
N 53.136885°
E117.399902°		 ← 366.41 m →
134 271 m²		 N 53.136885°
E117.405395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826118469238281 y=0.325111389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826118469238281 × 216)
    floor (0.826118469238281 × 65536)
    floor (54140.5)     		tx = 54140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325111389160156 × 216)
    floor (0.325111389160156 × 65536)
    floor (21306.5)     		ty = 21306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54140 / 21306 ti = "16/54140/21306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54140/21306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54140 ÷ 216
    54140 ÷ 65536     		x = 0.82611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21306 ÷ 216
    21306 ÷ 65536     		y = 0.325103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82611083984375 × 2 - 1) × π
    0.6522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04901484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325103759765625 × 2 - 1) × π
    0.34979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09890548689017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04901484} λ = 2.04901484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09890548689017))-π/2
    2×atan(3.00087972362657)-π/2
    2×1.2491337215494-π/2
    2.4982674430988-1.57079632675     		φ = 0.92747112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04901484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92747112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.140181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54140 KachelY 21306 2.04901484 0.92747112 117.399902 53.140181
    Oben rechts KachelX + 1 54141 KachelY 21306 2.04911071 0.92747112 117.405395 53.140181
    Unten links KachelX 54140 KachelY + 1 21307 2.04901484 0.92741360 117.399902 53.136885
    Unten rechts KachelX + 1 54141 KachelY + 1 21307 2.04911071 0.92741360 117.405395 53.136885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92747112-0.92741360) × R
    5.75200000000331e-05 × 6371000     		dl = 366.459920000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92747112-0.92741360) × R
    5.75200000000331e-05 × 6371000     		dr = 366.459920000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04901484-2.04911071) × cos(0.92747112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599859269119562 × 6371000     		do = 366.386705299359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04901484-2.04911071) × cos(0.92741360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599905290197222 × 6371000     		du = 366.414814410756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92747112)-sin(0.92741360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599859269119562-0.599905290197222)×R²
    abs(2.04911071-2.04901484)×4.60210776601633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60210776601633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60210776601633e-05×40589641000000     		ar = 134271.193181556m²