Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54138 / 50858
↖ ↑ ↗
← S 69.979254°
E117.388916°		 ← 209.11 m → S 69.979254°
E117.394409°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
S 69.981135°
E117.388916°		 ← 209.09 m →
43 735 m²		 S 69.981135°
E117.394409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826087951660156 y=0.776039123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826087951660156 × 216)
    floor (0.826087951660156 × 65536)
    floor (54138.5)     		tx = 54138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776039123535156 × 216)
    floor (0.776039123535156 × 65536)
    floor (50858.5)     		ty = 50858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54138 / 50858 ti = "16/54138/50858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54138/50858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54138 ÷ 216
    54138 ÷ 65536     		x = 0.826080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50858 ÷ 216
    50858 ÷ 65536     		y = 0.776031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826080322265625 × 2 - 1) × π
    0.65216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04882309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.55206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73435702825363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04882309} λ = 2.04882309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73435702825363))-π/2
    2×atan(0.176513657102033)-π/2
    2×0.174713966829504-π/2
    0.349427933659007-1.57079632675     		φ = -1.22136839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04882309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22136839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.979254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54138 KachelY 50858 2.04882309 -1.22136839 117.388916 -69.979254
    Oben rechts KachelX + 1 54139 KachelY 50858 2.04891896 -1.22136839 117.394409 -69.979254
    Unten links KachelX 54138 KachelY + 1 50859 2.04882309 -1.22140122 117.388916 -69.981135
    Unten rechts KachelX + 1 54139 KachelY + 1 50859 2.04891896 -1.22140122 117.394409 -69.981135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22136839--1.22140122) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22136839--1.22140122) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04882309-2.04891896) × cos(-1.22136839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		do = 209.109527424709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04882309-2.04891896) × cos(-1.22140122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342329524586612 × 6371000     		du = 209.090686927412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22136839)-sin(-1.22140122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342360370812129-0.342329524586612)×R²
    abs(2.04891896-2.04882309)×3.08462255171893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08462255171893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08462255171893e-05×40589641000000     		ar = 43735.3637838312m²