Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54138 / 50823
↖ ↑ ↗
← S 69.913328°
E117.388916°		 ← 209.77 m → S 69.913328°
E117.394409°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
S 69.915214°
E117.388916°		 ← 209.75 m →
44 007 m²		 S 69.915214°
E117.394409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826087951660156 y=0.775505065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826087951660156 × 216)
    floor (0.826087951660156 × 65536)
    floor (54138.5)     		tx = 54138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775505065917969 × 216)
    floor (0.775505065917969 × 65536)
    floor (50823.5)     		ty = 50823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54138 / 50823 ti = "16/54138/50823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54138/50823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54138 ÷ 216
    54138 ÷ 65536     		x = 0.826080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50823 ÷ 216
    50823 ÷ 65536     		y = 0.775497436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826080322265625 × 2 - 1) × π
    0.65216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04882309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775497436523438 × 2 - 1) × π
    -0.550994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73100144528023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04882309} λ = 2.04882309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73100144528023))-π/2
    2×atan(0.177106958203203)-π/2
    2×0.175289282464681-π/2
    0.350578564929361-1.57079632675     		φ = -1.22021776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04882309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22021776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.913328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54138 KachelY 50823 2.04882309 -1.22021776 117.388916 -69.913328
    Oben rechts KachelX + 1 54139 KachelY 50823 2.04891896 -1.22021776 117.394409 -69.913328
    Unten links KachelX 54138 KachelY + 1 50824 2.04882309 -1.22025069 117.388916 -69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 54139 KachelY + 1 50824 2.04891896 -1.22025069 117.394409 -69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22021776--1.22025069) × R
    3.29300000001531e-05 × 6371000     		dl = 209.797030000975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22021776--1.22025069) × R
    3.29300000001531e-05 × 6371000     		dr = 209.797030000975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04882309-2.04891896) × cos(-1.22021776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343441239894091 × 6371000     		do = 209.769709040942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04882309-2.04891896) × cos(-1.22025069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 209.750819090611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22021776)-sin(-1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343441239894091-0.343410312702587)×R²
    abs(2.04891896-2.04882309)×3.09271915037157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09271915037157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09271915037157e-05×40589641000000     		ar = 44007.0804172263m²