Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54137 / 23927
↖ ↑ ↗
← N 43.616194°
E117.383423°		 ← 442.20 m → N 43.616194°
E117.388916°		 →
↑
442.21 m
↓
↑
442.21 m
↓
N 43.612217°
E117.383423°		 ← 442.23 m →
195 551 m²		 N 43.612217°
E117.388916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826072692871094 y=0.365104675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826072692871094 × 216)
    floor (0.826072692871094 × 65536)
    floor (54137.5)     		tx = 54137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365104675292969 × 216)
    floor (0.365104675292969 × 65536)
    floor (23927.5)     		ty = 23927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54137 / 23927 ti = "16/54137/23927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54137/23927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54137 ÷ 216
    54137 ÷ 65536     		x = 0.826065063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23927 ÷ 216
    23927 ÷ 65536     		y = 0.365097045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826065063476562 × 2 - 1) × π
    0.652130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04872722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365097045898438 × 2 - 1) × π
    0.269805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.847620259081833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04872722} λ = 2.04872722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847620259081833))-π/2
    2×atan(2.33408571823157)-π/2
    2×1.1660212580944-π/2
    2.3320425161888-1.57079632675     		φ = 0.76124619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04872722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.383423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76124619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.616194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54137 KachelY 23927 2.04872722 0.76124619 117.383423 43.616194
    Oben rechts KachelX + 1 54138 KachelY 23927 2.04882309 0.76124619 117.388916 43.616194
    Unten links KachelX 54137 KachelY + 1 23928 2.04872722 0.76117678 117.383423 43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 54138 KachelY + 1 23928 2.04882309 0.76117678 117.388916 43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76124619-0.76117678) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dl = 442.211110000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76124619-0.76117678) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dr = 442.211110000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04872722-2.04882309) × cos(0.76124619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723976921116147 × 6371000     		do = 442.196249179988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04872722-2.04882309) × cos(0.76117678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 442.225493059074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76124619)-sin(0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723976921116147-0.724024800069398)×R²
    abs(2.04882309-2.04872722)×4.78789532507573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78789532507573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78789532507573e-05×40589641000000     		ar = 195550.560250741m²