Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54137 / 14737
↖ ↑ ↗
← N 79.989055°
W 31.308289°		 ← 53.09 m → N 79.989055°
W 31.305542°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.988577°
W 31.308289°		 ← 53.10 m →
2 818 m²		 N 79.988577°
W 31.305542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413036346435547 y=0.112438201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413036346435547 × 217)
    floor (0.413036346435547 × 131072)
    floor (54137.5)     		tx = 54137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112438201904297 × 217)
    floor (0.112438201904297 × 131072)
    floor (14737.5)     		ty = 14737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54137 / 14737 ti = "17/54137/14737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54137/14737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54137 ÷ 217
    54137 ÷ 131072     		x = 0.413032531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14737 ÷ 217
    14737 ÷ 131072     		y = 0.112434387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413032531738281 × 2 - 1) × π
    -0.173934936523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54643272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112434387207031 × 2 - 1) × π
    0.775131225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43514656379923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54643272} λ = -0.54643272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43514656379923))-π/2
    2×atan(11.4174919817462)-π/2
    2×1.48343435028433-π/2
    2.96686870056865-1.57079632675     		φ = 1.39607237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54643272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.308289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39607237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.989055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54137 KachelY 14737 -0.54643272 1.39607237 -31.308289 79.989055
    Oben rechts KachelX + 1 54138 KachelY 14737 -0.54638478 1.39607237 -31.305542 79.989055
    Unten links KachelX 54137 KachelY + 1 14738 -0.54643272 1.39606404 -31.308289 79.988577
    Unten rechts KachelX + 1 54138 KachelY + 1 14738 -0.54638478 1.39606404 -31.305542 79.988577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39607237-1.39606404) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39607237-1.39606404) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54643272--0.54638478) × cos(1.39607237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173836303893591 × 6371000     		do = 53.0940817555302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54643272--0.54638478) × cos(1.39606404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173844507059668 × 6371000     		du = 53.0965872135995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39607237)-sin(1.39606404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173836303893591-0.173844507059668)×R²
    abs(-0.54638478--0.54643272)×8.20316607649807e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.20316607649807e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.20316607649807e-06×40589641000000     		ar = 2817.79223218922m²