Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54136 / 15240
↖ ↑ ↗
← N 79.746021°
W 31.311035°		 ← 54.37 m → N 79.746021°
W 31.308289°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.745533°
W 31.311035°		 ← 54.37 m →
2 955 m²		 N 79.745533°
W 31.308289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413028717041016 y=0.116275787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413028717041016 × 217)
    floor (0.413028717041016 × 131072)
    floor (54136.5)     		tx = 54136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116275787353516 × 217)
    floor (0.116275787353516 × 131072)
    floor (15240.5)     		ty = 15240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54136 / 15240 ti = "17/54136/15240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54136/15240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54136 ÷ 217
    54136 ÷ 131072     		x = 0.41302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15240 ÷ 217
    15240 ÷ 131072     		y = 0.11627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54648066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11627197265625 × 2 - 1) × π
    0.7674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41103430329034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54648066} λ = -0.54648066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41103430329034))-π/2
    2×atan(11.1454829952288)-π/2
    2×1.48131348295734-π/2
    2.96262696591469-1.57079632675     		φ = 1.39183064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54648066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39183064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.746021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54136 KachelY 15240 -0.54648066 1.39183064 -31.311035 79.746021
    Oben rechts KachelX + 1 54137 KachelY 15240 -0.54643272 1.39183064 -31.308289 79.746021
    Unten links KachelX 54136 KachelY + 1 15241 -0.54648066 1.39182211 -31.311035 79.745533
    Unten rechts KachelX + 1 54137 KachelY + 1 15241 -0.54643272 1.39182211 -31.308289 79.745533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39183064-1.39182211) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39183064-1.39182211) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54648066--0.54643272) × cos(1.39183064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178011875320804 × 6371000     		do = 54.3694087486086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54648066--0.54643272) × cos(1.39182211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178020269076061 × 6371000     		du = 54.3719724175193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39183064)-sin(1.39182211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178011875320804-0.178020269076061)×R²
    abs(-0.54643272--0.54648066)×8.39375525679698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39375525679698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39375525679698e-06×40589641000000     		ar = 2954.75506277443m²