Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54136 / 13448
↖ ↑ ↗
← N 80.586133°
W 31.311035°		 ← 49.96 m → N 80.586133°
W 31.308289°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.585684°
W 31.311035°		 ← 49.96 m →
2 495 m²		 N 80.585684°
W 31.308289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413028717041016 y=0.102603912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413028717041016 × 217)
    floor (0.413028717041016 × 131072)
    floor (54136.5)     		tx = 54136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102603912353516 × 217)
    floor (0.102603912353516 × 131072)
    floor (13448.5)     		ty = 13448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54136 / 13448 ti = "17/54136/13448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54136/13448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54136 ÷ 217
    54136 ÷ 131072     		x = 0.41302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13448 ÷ 217
    13448 ÷ 131072     		y = 0.10260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54648066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10260009765625 × 2 - 1) × π
    0.7947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49693722740948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54648066} λ = -0.54648066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49693722740948))-π/2
    2×atan(12.145238833231)-π/2
    2×1.4886448451394-π/2
    2.9772896902788-1.57079632675     		φ = 1.40649336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54648066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40649336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.586133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54136 KachelY 13448 -0.54648066 1.40649336 -31.311035 80.586133
    Oben rechts KachelX + 1 54137 KachelY 13448 -0.54643272 1.40649336 -31.308289 80.586133
    Unten links KachelX 54136 KachelY + 1 13449 -0.54648066 1.40648552 -31.311035 80.585684
    Unten rechts KachelX + 1 54137 KachelY + 1 13449 -0.54643272 1.40648552 -31.308289 80.585684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40649336-1.40648552) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dl = 49.9486400005875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40649336-1.40648552) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dr = 49.9486400005875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54648066--0.54643272) × cos(1.40649336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163564724796927 × 6371000     		do = 49.956877108965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54648066--0.54643272) × cos(1.40648552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163572459207524 × 6371000     		du = 49.959239397045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40649336)-sin(1.40648552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163564724796927-0.163572459207524)×R²
    abs(-0.54643272--0.54648066)×7.73441059670477e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.73441059670477e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.73441059670477e-06×40589641000000     		ar = 2495.33706680975m²