Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54135 / 50851
↖ ↑ ↗
← S 69.966086°
E117.372437°		 ← 209.24 m → S 69.966086°
E117.377930°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
S 69.967967°
E117.372437°		 ← 209.22 m →
43 776 m²		 S 69.967967°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826042175292969 y=0.775932312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826042175292969 × 216)
    floor (0.826042175292969 × 65536)
    floor (54135.5)     		tx = 54135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775932312011719 × 216)
    floor (0.775932312011719 × 65536)
    floor (50851.5)     		ty = 50851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54135 / 50851 ti = "16/54135/50851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54135/50851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54135 ÷ 216
    54135 ÷ 65536     		x = 0.826034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50851 ÷ 216
    50851 ÷ 65536     		y = 0.775924682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826034545898438 × 2 - 1) × π
    0.652069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04853547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775924682617188 × 2 - 1) × π
    -0.551849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73368591165895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04853547} λ = 2.04853547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73368591165895))-π/2
    2×atan(0.176632158106049)-π/2
    2×0.174828884918187-π/2
    0.349657769836373-1.57079632675     		φ = -1.22113856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04853547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.372437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22113856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.966086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54135 KachelY 50851 2.04853547 -1.22113856 117.372437 -69.966086
    Oben rechts KachelX + 1 54136 KachelY 50851 2.04863134 -1.22113856 117.377930 -69.966086
    Unten links KachelX 54135 KachelY + 1 50852 2.04853547 -1.22117140 117.372437 -69.967967
    Unten rechts KachelX + 1 54136 KachelY + 1 50852 2.04863134 -1.22117140 117.377930 -69.967967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22113856--1.22117140) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22113856--1.22117140) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04853547-2.04863134) × cos(-1.22113856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		do = 209.241416070586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04853547-2.04863134) × cos(-1.22117140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342545449810102 × 6371000     		du = 209.222571413155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22113856)-sin(-1.22117140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342576302846716-0.342545449810102)×R²
    abs(2.04863134-2.04853547)×3.08530366134874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08530366134874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08530366134874e-05×40589641000000     		ar = 43776.2793391184m²