Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54135 / 50824
↖ ↑ ↗
← S 69.915214°
E117.372437°		 ← 209.75 m → S 69.915214°
E117.377930°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 69.917101°
E117.372437°		 ← 209.73 m →
43 990 m²		 S 69.917101°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826042175292969 y=0.775520324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826042175292969 × 216)
    floor (0.826042175292969 × 65536)
    floor (54135.5)     		tx = 54135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775520324707031 × 216)
    floor (0.775520324707031 × 65536)
    floor (50824.5)     		ty = 50824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54135 / 50824 ti = "16/54135/50824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54135/50824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54135 ÷ 216
    54135 ÷ 65536     		x = 0.826034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50824 ÷ 216
    50824 ÷ 65536     		y = 0.7755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826034545898438 × 2 - 1) × π
    0.652069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04853547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73109731907947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04853547} λ = 2.04853547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73109731907947))-π/2
    2×atan(0.177089979100187)-π/2
    2×0.175272819697708-π/2
    0.350545639395417-1.57079632675     		φ = -1.22025069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04853547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.372437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22025069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.915214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54135 KachelY 50824 2.04853547 -1.22025069 117.372437 -69.915214
    Oben rechts KachelX + 1 54136 KachelY 50824 2.04863134 -1.22025069 117.377930 -69.915214
    Unten links KachelX 54135 KachelY + 1 50825 2.04853547 -1.22028361 117.372437 -69.917101
    Unten rechts KachelX + 1 54136 KachelY + 1 50825 2.04863134 -1.22028361 117.377930 -69.917101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22025069--1.22028361) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22025069--1.22028361) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04853547-2.04863134) × cos(-1.22025069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343410312702587 × 6371000     		do = 209.750819090611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04853547-2.04863134) × cos(-1.22028361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343379394530662 × 6371000     		du = 209.731934649329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22025069)-sin(-1.22028361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343410312702587-0.343379394530662)×R²
    abs(2.04863134-2.04853547)×3.09181719246876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09181719246876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09181719246876e-05×40589641000000     		ar = 43989.7553164172m²