Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54135 / 50066
↖ ↑ ↗
← S 68.435551°
E117.372437°		 ← 224.49 m → S 68.435551°
E117.377930°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
S 68.437570°
E117.372437°		 ← 224.47 m →
50 400 m²		 S 68.437570°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826042175292969 y=0.763954162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826042175292969 × 216)
    floor (0.826042175292969 × 65536)
    floor (54135.5)     		tx = 54135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763954162597656 × 216)
    floor (0.763954162597656 × 65536)
    floor (50066.5)     		ty = 50066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54135 / 50066 ti = "16/54135/50066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54135/50066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54135 ÷ 216
    54135 ÷ 65536     		x = 0.826034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50066 ÷ 216
    50066 ÷ 65536     		y = 0.763946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826034545898438 × 2 - 1) × π
    0.652069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04853547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.52789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65842497925546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04853547} λ = 2.04853547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65842497925546))-π/2
    2×atan(0.190438688901357)-π/2
    2×0.188185316445922-π/2
    0.376370632891843-1.57079632675     		φ = -1.19442569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04853547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.372437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19442569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.435551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54135 KachelY 50066 2.04853547 -1.19442569 117.372437 -68.435551
    Oben rechts KachelX + 1 54136 KachelY 50066 2.04863134 -1.19442569 117.377930 -68.435551
    Unten links KachelX 54135 KachelY + 1 50067 2.04853547 -1.19446093 117.372437 -68.437570
    Unten rechts KachelX + 1 54136 KachelY + 1 50067 2.04863134 -1.19446093 117.377930 -68.437570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19442569--1.19446093) × R
    3.52399999998809e-05 × 6371000     		dl = 224.514039999241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19442569--1.19446093) × R
    3.52399999998809e-05 × 6371000     		dr = 224.514039999241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04853547-2.04863134) × cos(-1.19442569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367547572623224 × 6371000     		do = 224.493562251447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04853547-2.04863134) × cos(-1.19446093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367514799028627 × 6371000     		du = 224.473544540688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19442569)-sin(-1.19446093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367547572623224-0.367514799028627)×R²
    abs(2.04863134-2.04853547)×3.27735945967467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27735945967467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27735945967467e-05×40589641000000     		ar = 50399.7094917677m²