Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54134 / 50844
↖ ↑ ↗
← S 69.952909°
E117.366943°		 ← 209.40 m → S 69.952909°
E117.372437°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
S 69.954792°
E117.366943°		 ← 209.38 m →
43 835 m²		 S 69.954792°
E117.372437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826026916503906 y=0.775825500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826026916503906 × 216)
    floor (0.826026916503906 × 65536)
    floor (54134.5)     		tx = 54134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775825500488281 × 216)
    floor (0.775825500488281 × 65536)
    floor (50844.5)     		ty = 50844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54134 / 50844 ti = "16/54134/50844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54134/50844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54134 ÷ 216
    54134 ÷ 65536     		x = 0.826019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50844 ÷ 216
    50844 ÷ 65536     		y = 0.77581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826019287109375 × 2 - 1) × π
    0.65203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04843959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.5516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73301479506427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04843959} λ = 2.04843959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73301479506427))-π/2
    2×atan(0.176750738664748)-π/2
    2×0.174943875486414-π/2
    0.349887750972827-1.57079632675     		φ = -1.22090858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04843959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22090858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.952909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54134 KachelY 50844 2.04843959 -1.22090858 117.366943 -69.952909
    Oben rechts KachelX + 1 54135 KachelY 50844 2.04853547 -1.22090858 117.372437 -69.952909
    Unten links KachelX 54134 KachelY + 1 50845 2.04843959 -1.22094144 117.366943 -69.954792
    Unten rechts KachelX + 1 54135 KachelY + 1 50845 2.04853547 -1.22094144 117.372437 -69.954792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22090858--1.22094144) × R
    3.28600000001344e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22090858--1.22094144) × R
    3.28600000001344e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04843959-2.04853547) × cos(-1.22090858) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342792357697479 × 6371000     		do = 209.395219032057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04843959-2.04853547) × cos(-1.22094144) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342761488460438 × 6371000     		du = 209.376362512924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22090858)-sin(-1.22094144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342792357697479-0.342761488460438)×R²
    abs(2.04853547-2.04843959)×3.08692370410424e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08692370410424e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08692370410424e-05×40589641000000     		ar = 43835.1372515577m²