Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54134 / 50819
↖ ↑ ↗
← S 69.905780°
E117.366943°		 ← 209.87 m → S 69.905780°
E117.372437°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 69.907667°
E117.366943°		 ← 209.85 m →
44 041 m²		 S 69.907667°
E117.372437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826026916503906 y=0.775444030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826026916503906 × 216)
    floor (0.826026916503906 × 65536)
    floor (54134.5)     		tx = 54134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775444030761719 × 216)
    floor (0.775444030761719 × 65536)
    floor (50819.5)     		ty = 50819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54134 / 50819 ti = "16/54134/50819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54134/50819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54134 ÷ 216
    54134 ÷ 65536     		x = 0.826019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50819 ÷ 216
    50819 ÷ 65536     		y = 0.775436401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826019287109375 × 2 - 1) × π
    0.65203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04843959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775436401367188 × 2 - 1) × π
    -0.550872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73061795008327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04843959} λ = 2.04843959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73061795008327))-π/2
    2×atan(0.17717489089612)-π/2
    2×0.17535514835783-π/2
    0.35071029671566-1.57079632675     		φ = -1.22008603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04843959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22008603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.905780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54134 KachelY 50819 2.04843959 -1.22008603 117.366943 -69.905780
    Oben rechts KachelX + 1 54135 KachelY 50819 2.04853547 -1.22008603 117.372437 -69.905780
    Unten links KachelX 54134 KachelY + 1 50820 2.04843959 -1.22011897 117.366943 -69.907667
    Unten rechts KachelX + 1 54135 KachelY + 1 50820 2.04853547 -1.22011897 117.372437 -69.907667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22008603--1.22011897) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22008603--1.22011897) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04843959-2.04853547) × cos(-1.22008603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		do = 209.867160826541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04843959-2.04853547) × cos(-1.22011897) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343534019233932 × 6371000     		du = 209.848264079258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22008603)-sin(-1.22011897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343564954326834-0.343534019233932)×R²
    abs(2.04853547-2.04843959)×3.09350929014185e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09350929014185e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09350929014185e-05×40589641000000     		ar = 44040.8948340242m²