Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54133 / 50849
↖ ↑ ↗
← S 69.962321°
E117.361450°		 ← 209.28 m → S 69.962321°
E117.366943°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 69.964204°
E117.361450°		 ← 209.26 m →
43 797 m²		 S 69.964204°
E117.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826011657714844 y=0.775901794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826011657714844 × 216)
    floor (0.826011657714844 × 65536)
    floor (54133.5)     		tx = 54133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775901794433594 × 216)
    floor (0.775901794433594 × 65536)
    floor (50849.5)     		ty = 50849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54133 / 50849 ti = "16/54133/50849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54133/50849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54133 ÷ 216
    54133 ÷ 65536     		x = 0.826004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50849 ÷ 216
    50849 ÷ 65536     		y = 0.775894165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826004028320312 × 2 - 1) × π
    0.652008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04834372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775894165039062 × 2 - 1) × π
    -0.551788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73349416406047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04834372} λ = 2.04834372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73349416406047))-π/2
    2×atan(0.176666030145518)-π/2
    2×0.174861731968647-π/2
    0.349723463937294-1.57079632675     		φ = -1.22107286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04834372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.361450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22107286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.962321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54133 KachelY 50849 2.04834372 -1.22107286 117.361450 -69.962321
    Oben rechts KachelX + 1 54134 KachelY 50849 2.04843959 -1.22107286 117.366943 -69.962321
    Unten links KachelX 54133 KachelY + 1 50850 2.04834372 -1.22110571 117.361450 -69.964204
    Unten rechts KachelX + 1 54134 KachelY + 1 50850 2.04843959 -1.22110571 117.366943 -69.964204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22107286--1.22110571) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22107286--1.22110571) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04834372-2.04843959) × cos(-1.22107286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342638026600889 × 6371000     		do = 209.279116184753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04834372-2.04843959) × cos(-1.22110571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34260716490866 × 6371000     		du = 209.260266240578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22107286)-sin(-1.22110571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342638026600889-0.34260716490866)×R²
    abs(2.04843959-2.04834372)×3.0861692229156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0861692229156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0861692229156e-05×40589641000000     		ar = 43797.4991130001m²