Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54133 / 50067
↖ ↑ ↗
← S 68.437570°
E117.361450°		 ← 224.47 m → S 68.437570°
E117.366943°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 68.439589°
E117.361450°		 ← 224.45 m →
50 381 m²		 S 68.439589°
E117.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826011657714844 y=0.763969421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826011657714844 × 216)
    floor (0.826011657714844 × 65536)
    floor (54133.5)     		tx = 54133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763969421386719 × 216)
    floor (0.763969421386719 × 65536)
    floor (50067.5)     		ty = 50067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54133 / 50067 ti = "16/54133/50067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54133/50067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54133 ÷ 216
    54133 ÷ 65536     		x = 0.826004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50067 ÷ 216
    50067 ÷ 65536     		y = 0.763961791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826004028320312 × 2 - 1) × π
    0.652008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04834372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763961791992188 × 2 - 1) × π
    -0.527923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6585208530547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04834372} λ = 2.04834372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6585208530547))-π/2
    2×atan(0.190420431695938)-π/2
    2×0.188167698140468-π/2
    0.376335396280936-1.57079632675     		φ = -1.19446093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04834372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.361450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19446093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.437570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54133 KachelY 50067 2.04834372 -1.19446093 117.361450 -68.437570
    Oben rechts KachelX + 1 54134 KachelY 50067 2.04843959 -1.19446093 117.366943 -68.437570
    Unten links KachelX 54133 KachelY + 1 50068 2.04834372 -1.19449616 117.361450 -68.439589
    Unten rechts KachelX + 1 54134 KachelY + 1 50068 2.04843959 -1.19449616 117.366943 -68.439589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19446093--1.19449616) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19446093--1.19449616) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04834372-2.04843959) × cos(-1.19446093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367514799028627 × 6371000     		do = 224.473544540688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04834372-2.04843959) × cos(-1.19449616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367482034277936 × 6371000     		du = 224.453532231679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19446093)-sin(-1.19449616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367514799028627-0.367482034277936)×R²
    abs(2.04843959-2.04834372)×3.27647506915829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27647506915829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27647506915829e-05×40589641000000     		ar = 50380.9152685917m²