Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54133 / 14679
↖ ↑ ↗
← N 80.016710°
W 31.319275°		 ← 52.95 m → N 80.016710°
W 31.316528°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.016234°
W 31.319275°		 ← 52.95 m →
2 803 m²		 N 80.016234°
W 31.316528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413005828857422 y=0.111995697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413005828857422 × 217)
    floor (0.413005828857422 × 131072)
    floor (54133.5)     		tx = 54133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111995697021484 × 217)
    floor (0.111995697021484 × 131072)
    floor (14679.5)     		ty = 14679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54133 / 14679 ti = "17/54133/14679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54133/14679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54133 ÷ 217
    54133 ÷ 131072     		x = 0.413002014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14679 ÷ 217
    14679 ÷ 131072     		y = 0.111991882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413002014160156 × 2 - 1) × π
    -0.173995971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54662447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111991882324219 × 2 - 1) × π
    0.776016235351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.4379269039772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54662447} λ = -0.54662447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4379269039772))-π/2
    2×atan(11.4492806646328)-π/2
    2×1.48367568176526-π/2
    2.96735136353052-1.57079632675     		φ = 1.39655504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54662447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.319275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39655504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.016710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54133 KachelY 14679 -0.54662447 1.39655504 -31.319275 80.016710
    Oben rechts KachelX + 1 54134 KachelY 14679 -0.54657653 1.39655504 -31.316528 80.016710
    Unten links KachelX 54133 KachelY + 1 14680 -0.54662447 1.39654673 -31.319275 80.016234
    Unten rechts KachelX + 1 54134 KachelY + 1 14680 -0.54657653 1.39654673 -31.316528 80.016234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39655504-1.39654673) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39655504-1.39654673) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54662447--0.54657653) × cos(1.39655504) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173360962524493 × 6371000     		do = 52.9489002662433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54662447--0.54657653) × cos(1.39654673) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173369146691425 × 6371000     		du = 52.9513999214849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39655504)-sin(1.39654673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173360962524493-0.173369146691425)×R²
    abs(-0.54657653--0.54662447)×8.18416693249002e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.18416693249002e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.18416693249002e-06×40589641000000     		ar = 2803.34032604862m²