Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54132 / 50843
↖ ↑ ↗
← S 69.951025°
E117.355957°		 ← 209.39 m → S 69.951025°
E117.361450°		 →
↑
209.41 m
↓
↑
209.41 m
↓
S 69.952909°
E117.355957°		 ← 209.37 m →
43 848 m²		 S 69.952909°
E117.361450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825996398925781 y=0.775810241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825996398925781 × 216)
    floor (0.825996398925781 × 65536)
    floor (54132.5)     		tx = 54132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775810241699219 × 216)
    floor (0.775810241699219 × 65536)
    floor (50843.5)     		ty = 50843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54132 / 50843 ti = "16/54132/50843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54132/50843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54132 ÷ 216
    54132 ÷ 65536     		x = 0.82598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50843 ÷ 216
    50843 ÷ 65536     		y = 0.775802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82598876953125 × 2 - 1) × π
    0.6519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04824785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775802612304688 × 2 - 1) × π
    -0.551605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73291892126503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04824785} λ = 2.04824785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73291892126503))-π/2
    2×atan(0.176767685241936)-π/2
    2×0.174960308629454-π/2
    0.349920617258908-1.57079632675     		φ = -1.22087571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04824785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22087571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.951025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54132 KachelY 50843 2.04824785 -1.22087571 117.355957 -69.951025
    Oben rechts KachelX + 1 54133 KachelY 50843 2.04834372 -1.22087571 117.361450 -69.951025
    Unten links KachelX 54132 KachelY + 1 50844 2.04824785 -1.22090858 117.355957 -69.952909
    Unten rechts KachelX + 1 54133 KachelY + 1 50844 2.04834372 -1.22090858 117.361450 -69.952909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22087571--1.22090858) × R
    3.28699999998516e-05 × 6371000     		dl = 209.414769999055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22087571--1.22090858) × R
    3.28699999998516e-05 × 6371000     		dr = 209.414769999055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04824785-2.04834372) × cos(-1.22087571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342823235958379 × 6371000     		do = 209.392239795197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04824785-2.04834372) × cos(-1.22090858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342792357697479 × 6371000     		du = 209.373379731081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22087571)-sin(-1.22090858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342823235958379-0.342792357697479)×R²
    abs(2.04834372-2.04824785)×3.08782608998692e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08782608998692e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08782608998692e-05×40589641000000     		ar = 43847.8529522224m²