Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54132 / 14810
↖ ↑ ↗
← N 79.954140°
W 31.322021°		 ← 53.27 m → N 79.954140°
W 31.319275°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.953661°
W 31.322021°		 ← 53.27 m →
2 837 m²		 N 79.953661°
W 31.319275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412998199462891 y=0.112995147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412998199462891 × 217)
    floor (0.412998199462891 × 131072)
    floor (54132.5)     		tx = 54132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112995147705078 × 217)
    floor (0.112995147705078 × 131072)
    floor (14810.5)     		ty = 14810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54132 / 14810 ti = "17/54132/14810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54132/14810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54132 ÷ 217
    54132 ÷ 131072     		x = 0.412994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14810 ÷ 217
    14810 ÷ 131072     		y = 0.112991333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.17401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54667240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112991333007812 × 2 - 1) × π
    0.774017333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43164717012697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54667240} λ = -0.54667240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43164717012697))-π/2
    2×atan(11.3776075089892)-π/2
    2×1.48312966478978-π/2
    2.96625932957957-1.57079632675     		φ = 1.39546300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54667240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.322021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39546300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.954140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54132 KachelY 14810 -0.54667240 1.39546300 -31.322021 79.954140
    Oben rechts KachelX + 1 54133 KachelY 14810 -0.54662447 1.39546300 -31.319275 79.954140
    Unten links KachelX 54132 KachelY + 1 14811 -0.54667240 1.39545464 -31.322021 79.953661
    Unten rechts KachelX + 1 54133 KachelY + 1 14811 -0.54662447 1.39545464 -31.319275 79.953661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39546300-1.39545464) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dl = 53.2615599988437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39546300-1.39545464) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dr = 53.2615599988437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54667240--0.54662447) × cos(1.39546300) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.174436363656286 × 6371000     		do = 53.2662421118109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54667240--0.54662447) × cos(1.39545464) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.174444595478426 × 6371000     		du = 53.2687557977302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39546300)-sin(1.39545464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174436363656286-0.174444595478426)×R²
    abs(-0.54662447--0.54667240)×8.23182214015894e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.23182214015894e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.23182214015894e-06×40589641000000     		ar = 2837.11009159358m²