Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54131 / 50869
↖ ↑ ↗
← S 69.999931°
E117.350464°		 ← 208.92 m → S 69.999931°
E117.355957°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
S 70.001810°
E117.350464°		 ← 208.91 m →
43 643 m²		 S 70.001810°
E117.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825981140136719 y=0.776206970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825981140136719 × 216)
    floor (0.825981140136719 × 65536)
    floor (54131.5)     		tx = 54131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776206970214844 × 216)
    floor (0.776206970214844 × 65536)
    floor (50869.5)     		ty = 50869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54131 / 50869 ti = "16/54131/50869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54131/50869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54131 ÷ 216
    54131 ÷ 65536     		x = 0.825973510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50869 ÷ 216
    50869 ÷ 65536     		y = 0.776199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825973510742188 × 2 - 1) × π
    0.651947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04815197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776199340820312 × 2 - 1) × π
    -0.552398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73541164004527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04815197} λ = 2.04815197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73541164004527))-π/2
    2×atan(0.176327601843146)-π/2
    2×0.174533527604548-π/2
    0.349067055209096-1.57079632675     		φ = -1.22172927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04815197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.350464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22172927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.999931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54131 KachelY 50869 2.04815197 -1.22172927 117.350464 -69.999931
    Oben rechts KachelX + 1 54132 KachelY 50869 2.04824785 -1.22172927 117.355957 -69.999931
    Unten links KachelX 54131 KachelY + 1 50870 2.04815197 -1.22176206 117.350464 -70.001810
    Unten rechts KachelX + 1 54132 KachelY + 1 50870 2.04824785 -1.22176206 117.355957 -70.001810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22172927--1.22176206) × R
    3.27900000001158e-05 × 6371000     		dl = 208.905090000738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22172927--1.22176206) × R
    3.27900000001158e-05 × 6371000     		dr = 208.905090000738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04815197-2.04824785) × cos(-1.22172927) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342021276966868 × 6371000     		do = 208.924203226564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04815197-2.04824785) × cos(-1.22176206) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341990464275499 × 6371000     		du = 208.905381248439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22172927)-sin(-1.22176206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342021276966868-0.341990464275499)×R²
    abs(2.04824785-2.04815197)×3.08126913685092e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08126913685092e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08126913685092e-05×40589641000000     		ar = 43643.3634788594m²